의예과 2번

곡선 $\displaystyle y=e^{2x}$위의 점 $\displaystyle (t,e^{2t})$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=2e^{2t}(x-t)+e^{2t}$이므로 $\displaystyle f(x)=2e^{2t}(x-t)+e^{2t}$이다.

제시문 (ㄴ)의 함수 $\displaystyle g(x)=|f(x)+k-2\ln x|$에 대하여, $\displaystyle g_1(x)=f(x)+k-2\ln x$라고 하면$\displaystyle g_1^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac2x=2e^{2t}-\frac2x$이므로 함수 $\displaystyle g_1(x)$는 $\displaystyle g_1^{\prime}(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x=e^{-2t}$에서 극솟값 $\displaystyle g_1(e^{-2t})=(1-2t)e^{2t}+k+4t+2$을 갖는다.따라서, $\displaystyle x>0$인 모든 실수에 대해 함수 $\displaystyle g(x)=|f(x)+k-2\ln x|$가 미분가능하기 위해서는 $\displaystyle g_1(e^{-2t})=(1-2t)e^{2t}+k+4t+2\geq0$. 즉 $\displaystyle k\geq(2t-1)e^{2t}-4t-2$을 만족해야 하므로, $\displaystyle m=(2t-1)e^{2t}-4t-2$이고,$\displaystyle h(t)=e^{-t}(m+2t+1)=e^t(2t-1)-e^{-t}(2t+1)$이다.

한편, $\displaystyle h^{\prime}(t)=e^t(2t-1)+2e^t+e^{-t}(2t+1)-2e^{-t}=(1+2t)e^t-(1-2t)e^{-t}$이다.$\displaystyle h^{\prime}(0)=0$이고, 임의의 양수 $\displaystyle t$에 대해 $\displaystyle 1+2t>1-2t,\;e^t>e^{-t}$에 의해 $\displaystyle h^{\prime}(t)>0$이므로 $\displaystyle t\geq0$에서 함수 $\displaystyle h(t)$는 증가함수이다. $\displaystyle h(0)=-2,\;h(1)=e-3e^{-1}>0$이므로 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$사이의 어떤 실수 $\displaystyle q$에서 $\displaystyle h(q)=0$을 만족하고 $\displaystyle h(-t)=h(t)$이므로 $\displaystyle h(-q)=0$이다.

모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle (t-1)^2\geq0$이므로 $\displaystyle (t-1)^2h(t)$는 $\displaystyle -q<t<q$일 때만 음의 값을 가진다. 따라서, $\displaystyle \alpha=-q,\;\beta=q$일 때 $\displaystyle s$가 최소가 된다. 따라서, $\displaystyle \alpha+\beta=0$이다.