자연계열 1번

함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle f(-1)=-7=g(-1)$즉, $\displaystyle f(x)-g(x)$는 $\displaystyle x+1$을 하나의 인수로 갖는다.

그러므로, 조립제법을 이용하여 다음을 얻는다.$\displaystyle f(x)-g(x)=(x+1)\left(x^{2}-7x+\frac{11}{2}\right)=(x+1)\left(x-\frac{7}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{7}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$그러므로 $\displaystyle \alpha=\frac{7}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \beta=\frac{7}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 또는 $\displaystyle \alpha=\frac{7}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \beta=\frac{7}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}L=\alpha^{3}+\beta^{3}&=(\alpha+\beta)(\alpha^{2}-\alpha\beta+\beta^{2})\\&=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^{2}-3\alpha\beta)\\&=7\left(49-\frac{33}{2}\right)\\&=\frac{455}{2}\end{aligned}$

상수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle h(x)=m(x-1)-4$라고 하자. 그러면 $\displaystyle f(x)-mx+m+4=f(x)-h(x)$이다. 서로 다른 실근의 개수가 2개이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=h(x)$는 두 점에서 만나고 그 중 한점에서는 직선 $\displaystyle y=h(x)$이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접선이 된다.접점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle p$라 하자. 그러면 $\displaystyle (p,f(p))$에서의 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접선은 다음과 같다.$\displaystyle y=3(p^{2}-4p)(x-p)+p^{3}-6p^{2}=h(x)$

한편, $\displaystyle h(1)=-4$이므로,$\displaystyle -4=3(p^{2}-4p)(1-p)+p^{3}-6p^{2}=-2p^{3}+9p^{2}-12p$을 얻는다. 즉,$\displaystyle 2p^{3}-9p^{2}+12p-4=0$이다. $\displaystyle 2p^{3}-9p^{2}+12p-4=2(p-2)^{2}\left(p-\frac{1}{2}\right)$이므로, $\displaystyle p=2$또는 $\displaystyle p=\frac{1}{2}$이다.

i) $\displaystyle p=2$인 경우, $\displaystyle m=-12$이고 $\displaystyle f(x)-h(x)=(x-2)^{3}$이다. 따라서 방정식 $\displaystyle f(x)-h(x)=0$는 단 하나의 실근만을 갖게 되어 조건에 모순이다.

ii) $\displaystyle p=\frac{1}{2}$인 경우, $\displaystyle m=-\frac{21}{4}$이고 $\displaystyle f(x)-h(x)=x^{3}-6x^{2}+\frac{21}{4}x-\frac{5}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}(x-5)$이다. 즉, 방정식 $\displaystyle f(x)-h(x)=0$은 서로 다른 실근 $\displaystyle x=\frac{1}{2}$, $\displaystyle 5$를 갖는다.따라서 $\displaystyle m=-\frac{21}{4}$