자연계열 3번

제시문 (ㄱ)의 (나)에 의하면 $\displaystyle \sin2B=\sin2C$이거나 $\displaystyle \cos2B=\cos2C$이다. 삼각형의 각은 $\displaystyle 0$보다 크고 $\displaystyle \pi$보다 작으므로 $\displaystyle \sin2B=\sin2C$이면 $\displaystyle 2B=2C$이거나 $\displaystyle 2B=\pi-2C$이고, $\displaystyle \cos2B=\cos2C$이면 $\displaystyle 2B=2C$이거나 $\displaystyle 2B=2\pi-2C$이다. 한편 $\displaystyle A+B+C=\pi$를 만족하려면 $\displaystyle 2B=2\pi-2C$는 성립할 수 없다. 따라서 가능한 경우는 $\displaystyle A=B+C=\frac{\pi}{2}$인 직각삼각형과 $\displaystyle B=C$인 이등변삼각형 두 가지가 있다.집합 $\displaystyle M$을 구하기 위해 $\displaystyle \cos B=\frac{1}{3}$이라고 하자.

(1) 직각삼각형일 경우, $\displaystyle A=\frac{\pi}{2}$이고 $\displaystyle B$는 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$이상이므로 $\displaystyle B>C$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$가 가장 짧은 변이 되어 길이가 $\displaystyle 3$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\cos B}=3\times3=9$ 이다.

(2) 이등변삼각형일 경우, $\displaystyle B$는 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$이상이므로 $\displaystyle A<B=C$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$가 가장 짧은 변이 되어 길이가 $\displaystyle 3$이다.따라서 (1), (2)에 의해 $\displaystyle M=\{3,\,9\}$이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{APC}$의 외접원의 반지름을 $\displaystyle R_{1}$, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BPC}$의 외접원의 반지름을 $\displaystyle R_{2}$라고 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}}$를 기준으로 사인법칙을 적용하면 $\displaystyle 2R_{1}=\frac{\overline{\mathrm{PC}}}{\sin A}$이고, $\displaystyle 2R_{2}=\frac{\overline{\mathrm{PC}}}{\sin B}$가 된다. 따라서 $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}=\frac{\sin^{2}B}{\sin^{2}A}$이다.이 때 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름을 $\displaystyle R$이라 하면 사인법칙에 의해 $\displaystyle 2R=\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A}=\frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B}$에서 $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\sin^{2}B}{\sin^{2}A}=\frac{\overline{\mathrm{AC}}^{2}}{\overline{\mathrm{BC}}^{2}}$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$가 직각삼각형일 경우 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^{2}+\overline{\mathrm{AC}}^{2}=\overline{\mathrm{BC}}^{2}$이고, 이등변삼각형이면 $\displaystyle \cos B=\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{2\overline{\mathrm{AC}}}$이므로 $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\overline{\mathrm{AC}}^{2}}{\overline{\mathrm{BC}}^{2}}=\frac{1}{4\cos^{2}B}$이다.

(1) $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{1}{8}$인 경우:직각삼각형이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}^{2}:\overline{\mathrm{AB}}^{2}:\overline{\mathrm{BC}}^{2}=1:7:8$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}<\overline{\mathrm{AB}}<\overline{\mathrm{BC}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=3$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=3\times2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$이다. 이등변삼각형일 때에는 $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{1}{4\cos^{2}B}$가 $\displaystyle \frac{1}{4}$미만일 수 없으므로 그러한 삼각형은 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle p=6\sqrt{2}$ 이다.

(2) $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{3}{8}$인 경우:직각삼각형이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}^{2}:\overline{\mathrm{AB}}^{2}:\overline{\mathrm{BC}}^{2}=3:5:8$이다. 마찬가지로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=3$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=3\times\frac{2\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$ 이다. 이등변삼각형일 때에는 $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\sin^{2}B}{\sin^{2}A}=\frac{3}{8}<1$이므로 $\displaystyle B<A$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=3$이고, $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{1}{4\cos^{2}B}=\frac{3}{8}$이므로 $\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{6}}{3}$이 되어 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=6\cos B=2\sqrt{6}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$의 최솟값은 $\displaystyle q=2\sqrt{6}$ 이다.

(3) $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{5}{8}$인 경우:직각삼각형이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}^{2}:\overline{\mathrm{AB}}^{2}:\overline{\mathrm{BC}}^{2}=5:3:8$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}>\overline{\mathrm{AB}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=3$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=3\times\frac{2\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$ 이다.이등변삼각형일 때에는 $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\sin^{2}B}{\sin^{2}A}=\frac{5}{8}<1$이므로 $\displaystyle B<A$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=3$이고, $\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{1}{4\cos^{2}B}=\frac{5}{8}$이므로 $\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{10}}{5}$이 되어 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=6\cos B=\frac{6\sqrt{10}}{5}$ 이다. $\displaystyle 2\sqrt{6}$보다 작으므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$의 최솟값은 $\displaystyle r=\frac{6\sqrt{10}}{5}$ 이다.따라서 (1), (2), (3)을 종합하면 $\displaystyle p=6\sqrt{2}$, $\displaystyle q=2\sqrt{6}$, $\displaystyle r=\frac{6\sqrt{10}}{5}$ 이다.