자연계열 2번

$\displaystyle X=x+t$로 두면$\displaystyle \lim_{x\to0+}g(x+t)=\lim_{X\to x+}g(X)$, $\displaystyle \lim_{x\to3+}g(x+t)=\lim_{X\to(3+t)+}g(X)$Correction. 두 극한의 $\displaystyle x\to0^+$, $\displaystyle x\to3^+$는 각각 $\displaystyle t\to0^+$, $\displaystyle t\to3^+$의 오기이며, 치환한 두 번째 극한의 $\displaystyle X\to(3+t)^+$는 $\displaystyle X\to(x+3)^+$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 따라서, 구하고자 하는 함수 $\displaystyle h(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle h(x)=\begin{cases}3x(3(x+3))&x\geq3\\f(x)(3(x+3))&0\leq x<3\\3xf(x+3)&-3\leq x<0\\3x(3(x+3))&x<-3\end{cases}$

한편, 주어진 함수 $\displaystyle h(x)$는 모든 실수에 대해 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to3+}h(x)=\lim_{x\to3-}h(x)\quad\Rightarrow\quad9\cdot18=f(3)\cdot18$$\displaystyle \lim_{x\to0+}h(x)=\lim_{x\to0-}h(x)\quad\Rightarrow\quad f(0)\cdot9=0$$\displaystyle \lim_{x\to-3+}h(x)=\lim_{x\to-3-}h(x)\quad\Rightarrow\quad-9f(0)=0$이어야 하므로, $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(3)=9$이다. 따라서, $\displaystyle f(0)+f(3)=9$이다.

함수 $\displaystyle h(x)$에 대한 적분값 $\displaystyle \int_{-5}^{5}h(x)dx$ 는$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-5}^{5}h(x)dx&=\int_{-5}^{-3}3x(3(x+3))dx+\int_{-3}^{0}3xf(x+3)dx\\&\quad+\int_{0}^{3}f(x)(3(x+3))dx+\int_{3}^{5}3x(3(x+3))dx\\&=78+\int_{-3}^{0}3xf(x+3)dx+\int_{0}^{3}f(x)(3(x+3))dx+510=600\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \int_{-3}^{0}3xf(x+3)dx+\int_{0}^{3}f(x)(3(x+3))dx=12$이다.

한편, 치환적분법에 의해$\displaystyle \int_{-3}^{0}3xf(x+3)dx=\int_{0}^{3}3(t-3)f(t)dt$이므로$\displaystyle \int_{-3}^{0}3xf(x+3)dx+\int_{0}^{3}f(x)(3(x+3))dx=\int_{0}^{3}6xf(x)dx=12$이다. 따라서,$\displaystyle \int_{0}^{3}xf(x)dx=2$이다.