의예과 1번

제시문에서 $\displaystyle S_{19}S_{17}-S_{19}S_{18}+S_{18}^{2}-S_{18}S_{17}-25=0$이므로 $\displaystyle (S_{18}-S_{17})(S_{19}-S_{18})=-25$, 즉 $\displaystyle x_{18}x_{19}=-25$이고 $\displaystyle x_{18}$과 $\displaystyle x_{19}$는 서로 부호가 다름을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle x_{46}x_{47}<0$이므로 $\displaystyle x_{46}$과 $\displaystyle x_{47}$도 서로 부호가 다르다.

한편 $\displaystyle S_{7}=S_{8}$이므로 $\displaystyle x_{8}=S_{8}-S_{7}=0$이고, 만일 $\displaystyle K\leq8$이면, $\displaystyle k>8$일 때1) $\displaystyle d_{2}>0,d_{3}>0$인 경우 $\displaystyle x_{k}$는 증가2) $\displaystyle d_{2}>0,d_{3}<0$인 경우 $\displaystyle x_{k}$는 증가 후 감소3) $\displaystyle d_{2}<0,d_{3}<0$인 경우 $\displaystyle x_{k}$는 감소4) $\displaystyle d_{2}<0,d_{3}>0$인 경우 $\displaystyle x_{k}$는 감소 후 증가의 경우밖에 없는데 어떤 경우라도 $\displaystyle x_{18}$과 $\displaystyle x_{19}$ 및 $\displaystyle x_{46}$과 $\displaystyle x_{47}$에서 부호가 바뀐다는 사실에 대하여 모순이다. 따라서 $\displaystyle K>8$이다.$\displaystyle x_{8}=0$이므로 $\displaystyle 35+(8-1)d_{1}=0$, 즉 $\displaystyle d_{1}=-5$임을 알 수 있다.

$\displaystyle d_{1}<0$이므로, 만일 $\displaystyle d_{2}<0$이라면 $\displaystyle x_{k}$는 모든 $\displaystyle k$에 대하여 감소하거나 감소하다가 증가하는 경우밖에 없으므로 역시 $\displaystyle x_{8}=0$이고 $\displaystyle x_{18}$과 $\displaystyle x_{19}$ 및 $\displaystyle x_{46}$과 $\displaystyle x_{47}$에서 부호가 바뀔 수 없다. 따라서 $\displaystyle d_{2}>0$이고 $\displaystyle K\leq18$ 임을 알 수 있다. 이때 $\displaystyle K>8$에서 $\displaystyle K+15>23$이므로 $\displaystyle x_{18}=b_{18}$, $\displaystyle x_{19}=b_{19}$이다. 즉 $\displaystyle x_{19}-x_{18}=d_{2}>0$이고, $\displaystyle x_{18}x_{19}=-25$에서 $\displaystyle x_{18}=-1$, $\displaystyle x_{19}=25$, 또는 $\displaystyle x_{18}=-25$, $\displaystyle x_{19}=1$, 또는 $\displaystyle x_{18}=-5$, $\displaystyle x_{19}=5$이다.1) $\displaystyle x_{18}=-1$, $\displaystyle x_{19}=25$라면　$\displaystyle d_{2}=26$이고 $\displaystyle a_{K}=b_{K}$이어야 하지만 $\displaystyle a_{K}=35+(K-1)(-5)=-1+(18-K)(-26)=b_{K}$를 만족시키는 정수 $\displaystyle K$는 존재하지 않는다.2) $\displaystyle x_{18}=-25$, $\displaystyle x_{19}=1$이라면　$\displaystyle d_{2}=26$이고 $\displaystyle a_{K}=35+(K-1)(-5)=-25+(18-K)(-26)=b_{K}$를 만족시키는 정수 $\displaystyle K$는 존재하지 않는다.3) $\displaystyle x_{18}=-5$, $\displaystyle x_{19}=5$라면　$\displaystyle d_{2}=10$이고 $\displaystyle a_{K}=35+(K-1)(-5)=-5+(18-K)(-10)=b_{K}$를 만족시키는 자연수 $\displaystyle K=15$가 존재한다.따라서 $\displaystyle K=15$이고, $\displaystyle x_{30}=-35+(30-15)(10)=115$이다.

한편 $\displaystyle d_{3}<0$이므로, $\displaystyle x_{46}>0$이고 $\displaystyle x_{47}<0$이다.$\displaystyle x_{46}=115+(46-30)d_{3}>0$에서 $\displaystyle d_{3}>-\frac{115}{16}>-8$이고 $\displaystyle x_{47}=115+(47-30)d_{3}<0$에서$\displaystyle d_{3}<-\frac{115}{17}<-6$이므로 $\displaystyle d_{3}=-7$이고, $\displaystyle x_{46}=115+(46-30)(-7)=3$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}S_{46}&=S_{15}+(S_{30}-S_{15})+(S_{46}-S_{30})\\&=\frac{15(35-35)}{2}+\frac{15(-25+115)}{2}+\frac{16(108+3)}{2}\\&=1563\end{aligned}$