의예과 2번

제시문 (ㄴ)의 (가)에 의해,$\displaystyle f^{\prime}(c)=\frac{2a-2c^{2}}{(c^{2}+a)^{2}}=0\quad\Rightarrow\quad a=c^{2}$이므로 $\displaystyle f(c)=\frac{1}{c}$이다.

① $\displaystyle b\geq0$인 경우, 함수 $\displaystyle g(t)$는$\displaystyle g(t)=\begin{cases}b(t+c)&(t\leq-c)\\\frac{2(t+c)}{(t+c)^{2}+a}&(-c<t\leq0)\\\frac{1}{c}&(0<t\leq c)\\\frac{2t}{t^{2}+a}&(c\leq t)\end{cases}$이고, $\displaystyle g(t)$가 $\displaystyle t=-\frac{1}{2}$에서 미분가능하지 않기 위해서는 $\displaystyle c=\frac{1}{2}$이어야 한다.

한편, $\displaystyle c=\frac{1}{2}$일 때, $\displaystyle g(0)=2$이므로 $\displaystyle (0,2)$를 지나고 기울기가 $\displaystyle m$인 직선과 $\displaystyle g(t)$의 교점은ⓐ $\displaystyle b\geq\frac{1}{25}$ : $\displaystyle 0<m\leq\frac{1}{25}$일 때 2개ⓑ $\displaystyle b<\frac{1}{25}$ : $\displaystyle m=\frac{1}{25}$일 때 3개이므로 제시문 (ㄷ)을 만족하지 않는다.

② $\displaystyle b<0$인 경우, $\displaystyle f(-\alpha)=f(c-\alpha)$를 만족시키는 $\displaystyle \alpha$가 구간 $\displaystyle (0,c)$에 존재하므로, 함수 $\displaystyle g(t)$는$\displaystyle g(t)=\begin{cases}bt&(t\leq-\alpha)\\\frac{2(t+c)}{(t+c)^{2}+a}&(-\alpha<t\leq0)\\\frac{1}{c}&(0<t\leq c)\\\frac{2t}{t^{2}+a}&(c\leq t)\end{cases}$$\displaystyle g(t)$가 $\displaystyle t=-\frac{1}{2}$에서 미분가능하지 않기 위해서는 $\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}<c$이어야 한다. $\displaystyle g(0)=\frac{1}{c}$이므로 그래프는 다음과 같다.

따라서,$\displaystyle -\frac{1}{2}b=\frac{2\left(c-\frac{1}{2}\right)}{\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2}+a}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{-4\left(c-\frac{1}{2}\right)}{\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2}+c^{2}}$

제시문 (ㄷ)의 (나), (다)를 만족하기 위해서는 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{c}\right)$와 $\displaystyle \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}b\right)$를 잇는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{25}$이어야 한다. 즉,$\displaystyle \frac{\frac{1}{c}-\left(-\frac{1}{2}b\right)}{0-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{25}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{1}{25}-\frac{2}{c}$

따라서,$\displaystyle b=\frac{-4\left(c-\frac{1}{2}\right)}{\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2}+c^{2}}=\frac{1}{25}-\frac{2}{c}\quad\Rightarrow\quad8c^{3}-4c^{2}+c-50=0$이고$\displaystyle 8c^{3}-4c^{2}+c-50=0\quad\Leftrightarrow\quad(c-2)(8c^{2}+12c+25)=0$에 의해 $\displaystyle c=2$이다. 따라서, $\displaystyle a=4$, $\displaystyle b=-\frac{24}{25}$, $\displaystyle c=2$이다.