의예과 4번

제시문 (ㄴ)의 $\displaystyle i$, $\displaystyle j-i$, $\displaystyle n-j+1$의 총 합은 항상 $\displaystyle n+1$이고, $\displaystyle X$는 세 값중 가장 작은 수이다. $\displaystyle \frac{n+1}{3}$을 넘지 않는 제일 큰 자연수를 $\displaystyle q$라 할 때, 확률변수 $\displaystyle X$가 가질 수 있는 값 $\displaystyle k$의 최댓값은 $\displaystyle q$이며 $\displaystyle X$가 $\displaystyle q<k\leq n$인 $\displaystyle k$값을 가질 확률은 $\displaystyle 0$이다.

(1) $\displaystyle k<q$인 경우① $\displaystyle i$가 최소인 경우 $\displaystyle (i=k)$, $\displaystyle j$가 가질 수 있는 모든 가능한 값들의 집합은 $\displaystyle \{2k,2k+1,\ldots,n-k+1\}$으로 총 $\displaystyle n-3k+2$개다.② $\displaystyle n-j+1$가 최소인 경우 $\displaystyle (j=n-k+1)$, $\displaystyle i$가 가질 수 있는 모든 가능한 값들 중 $\displaystyle i$가 최솟값이 되는 경우를 제외한 값들의 집합은 $\displaystyle \{k+1,k+2,\ldots,n-2k+1\}$으로 총 $\displaystyle n-3k+1$개이다.③ $\displaystyle j-i$가 최소인 경우 $\displaystyle (i>k,j<n-k+1)$, $\displaystyle j-i$의 값이 $\displaystyle k$이 되는 모든 가능한 순서쌍 중에서 $\displaystyle i,n-k+1$이 $\displaystyle k$가 되는 경우를 제외한 집합은 $\displaystyle \{(k+1,2k+1),\ldots,(n-2k,n-k)\}$로 $\displaystyle n-3k$개다.Correction. 최솟값을 비교하는 세 수는 $\displaystyle i,j-i,n-j+1$이므로 이 줄의 $\displaystyle i,n-k+1$은 $\displaystyle i,n-j+1$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle k<q$일 때 $\displaystyle X=k$인 경우의 수의 총 합은 $\displaystyle 3(n-3k+1)$이다.

(2) $\displaystyle k=q$인 경우① $\displaystyle n+1=3q$일 때, $\displaystyle i,j-i,n-j+1$이 모두 동일하게 $\displaystyle q$인 경우이며, 이때 총 가능한 경우의 수는 $\displaystyle 1$이다.② $\displaystyle n+1=3q+1$일 때, $\displaystyle i,j-i,n-j+1$ 중 두 값이 동일하게 $\displaystyle q$가 되고, 나머지 하나의 값이 $\displaystyle q+1$이 되는 경우이며, 이때 총 가능한 경우의 수는 $\displaystyle 3$이다.③ $\displaystyle n+1=3q+2$일 때, $\displaystyle i,j-i,n-j+1$ 중 두 값이 동일하게 $\displaystyle q$가 되고 나머지 한값이 $\displaystyle q+2$가 되는 경우와 두 값이 동일하게 $\displaystyle q+1$이 되고 나머지 하나의 값이 $\displaystyle q$가 되는 경우로, 이때 총 가능한 경우의 수는 $\displaystyle 6$이다.

제시문 (ㄱ)에 따라 뽑힌 두 자연수 $\displaystyle i$와 $\displaystyle j$의 모든 가능한 순서쌍의 개수는 $\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}$이므로 $\displaystyle 1$이상인 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle P(X=k)$는 다음과 같다.1) $\displaystyle n=3m$ 일 때 $\displaystyle P(X=k)=\begin{cases}\frac{6(n-3k+1)}{n(n-1)}&\left(1\leq k\leq\frac{n}{3}-1\right)\\\frac{6}{n(n-1)}&\left(k=\frac{n}{3}\right)\\0&\left(\frac{n}{3}<k\leq n\right)\end{cases}$2) $\displaystyle n=3m+1$일 때$\displaystyle P(X=k)=\begin{cases}\frac{6(n-3k+1)}{n(n-1)}&\left(1\leq k\leq\frac{n-1}{3}-1\right)\\\frac{12}{n(n-1)}&\left(k=\frac{n-1}{3}\right)\\0&\left(\frac{n-1}{3}<k\leq n\right)\end{cases}$3) $\displaystyle n=3m+2$일 때$\displaystyle P(X=k)=\begin{cases}\frac{6(n-3k+1)}{n(n-1)}&\left(1\leq k\leq\frac{n+1}{3}-1\right)\\\frac{2}{n(n-1)}&\left(k=\frac{n+1}{3}\right)\\0&\left(\frac{n+1}{3}<k\leq n\right)\end{cases}$

$\displaystyle n$이 $\displaystyle 29$일때의 $\displaystyle X$의 기댓값은,$\displaystyle \begin{aligned}a=E(X)&=\sum_{k=1}^{9}\frac{6(29-3k+1)}{29\times28}\times k+10\times\frac{2}{29\times28}\\&=\frac{1}{29\times28}\left[180\sum_{k=1}^{9}k-18\sum_{k=1}^{9}k^{2}+20\right]\\&=\frac{1495}{406}\end{aligned}$

$\displaystyle n$이 $\displaystyle 30$일때의 $\displaystyle X$의 기댓값은$\displaystyle \begin{aligned}b=E(X)&=\sum_{k=1}^{9}\frac{6(30+1-3k)}{30\times29}\times k+10\times\frac{6}{30\times29}\\&=\frac{1}{30\times29}\left[186\sum_{k=1}^{9}k-18\sum_{l=1}^{9}k^{2}+60\right]\\&=\frac{110}{29}\end{aligned}$Correction. 합의 항이 $\displaystyle k^2$이므로 합 기호의 아래 첨자 $\displaystyle l=1$은 $\displaystyle k=1$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.