의예과 3번

$\displaystyle f(x)=\sin kx$ 함수의 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선은 $\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)=k(x-t)\cos kt+\sin kt$이고, $\displaystyle g(t)=k(4\pi-t)\cos kt+\sin kt$가 된다.

제시문의 적분 계산을 위해서는 구간 $\displaystyle [a,b]$, 즉 $\displaystyle \left[4\pi-\frac{5\pi}{2k},4\pi-\frac{3\pi}{2k}\right]$에서 $\displaystyle h(x)$의 함수값이 필요하고, $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x\leq t\leq4\pi$에서 $\displaystyle g(t)$의 최댓값과 최솟값을 통해 계산할 수 있다.$\displaystyle g^{\prime}(t)=-k^{2}(4\pi-t)\sin kt$이므로 $\displaystyle \sin kt=0$이거나 $\displaystyle t=4\pi$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(t)=0$이다. $\displaystyle k$는 자연수이므로 $\displaystyle t=4\pi$이면 $\displaystyle g(t)=g(4\pi)=\sin4\pi k=0$이고 구간 $\displaystyle \left[4\pi-\frac{\pi}{k},4\pi\right]$에서 함수 $\displaystyle g(t)$는 증가하며 $\displaystyle t=4\pi-\frac{\pi}{k}$일 때 극솟값을 갖는다. 마찬가지로, 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 함수 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=4\pi-\frac{(2n-1)\pi}{k}$에서는 극소, $\displaystyle t=4\pi-\frac{2n\pi}{k}$에서는 극대이다.따라서 $\displaystyle 4\pi-\frac{5\pi}{2k}\leq t\leq4\pi$인 $\displaystyle t$에 대하여 함수 $\displaystyle g(t)$의 극값은 $\displaystyle g\left(4\pi-\frac{2\pi}{k}\right)=2\pi$, $\displaystyle g\left(4\pi-\frac{\pi}{k}\right)=-\pi$, $\displaystyle g(4\pi)=0$이다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccccc}t&4\pi-\frac{5\pi}{2k}&\cdots&4\pi-\frac{2\pi}{k}&\cdots&4\pi-\frac{3\pi}{2k}&\cdots&4\pi-\frac{\pi}{k}&\cdots&4\pi\\\hline g(t)&-1&\nearrow&2\pi&\searrow&1&\searrow&-\pi&\nearrow&0\end{array}$

이제 $\displaystyle 4\pi-\frac{5\pi}{2k}\leq x\leq4\pi-\frac{3\pi}{2k}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 구간 $\displaystyle [x,4\pi]$에서 $\displaystyle g(t)$의 최댓값과 최솟값을 구하자.$\displaystyle g\left(4\pi-\frac{5\pi}{2k}\right)=-1>-\pi=g\left(4\pi-\frac{\pi}{k}\right)$이므로 구간 $\displaystyle [x,4\pi]$에서 $\displaystyle g(t)$의 최솟값은 항상 $\displaystyle -\pi$임을 확인할 수 있다.

최댓값의 경우, $\displaystyle g\left(4\pi-\frac{3\pi}{2k}\right)=1>0=g(4\pi)$이므로 $\displaystyle 4\pi-\frac{2\pi}{k}\leq x\leq4\pi-\frac{3\pi}{2k}$인 경우에는 구간 $\displaystyle [x,4\pi]$에서 $\displaystyle g(t)$의 최댓값이 $\displaystyle g(x)$가 되고, $\displaystyle 4\pi-\frac{5\pi}{2k}\leq t\leq4\pi-\frac{2\pi}{k}$인 경우에는 $\displaystyle g\left(4\pi-\frac{2\pi}{k}\right)=2\pi$가 최댓값이다.

따라서 위 내용을 정리하면 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}3\pi&\left(4\pi-\frac{5\pi}{2k}\leq x\leq4\pi-\frac{2\pi}{k}\right)\\g(x)+\pi&\left(4\pi-\frac{2\pi}{k}\leq x\leq4\pi-\frac{3\pi}{2k}\right)\end{cases}$이다.

주어진 적분 $\displaystyle \int_{a}^{b}h(x)dx$를 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_{4\pi-\frac{5\pi}{2k}}^{4\pi-\frac{3\pi}{2k}}h(x)dx&=3\pi\times\left(\frac{\pi}{2k}\right)+\pi\times\left(\frac{\pi}{2k}\right)+\int_{4\pi-\frac{2\pi}{k}}^{4\pi-\frac{3\pi}{2k}}g(x)dx\\&=\frac{2\pi^{2}}{k}+\int_{4\pi-\frac{2\pi}{k}}^{4\pi-\frac{3\pi}{2k}}(k(4\pi-x)\cos kx+\sin kx)dx\end{aligned}$이고, 부분적분을 통해 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}\int(k(4\pi-x)\cos kx+\sin kx)dx&=\left[(4\pi-x)\sin kx-\frac{1}{k}\cos kx\right]-\int(-\sin kx)dx\\&=(4\pi-x)\sin kx-\frac{2}{k}\cos kx\end{aligned}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_{4\pi-\frac{5\pi}{2k}}^{4\pi-\frac{3\pi}{2k}}h(x)dx&=\frac{2\pi^{2}}{k}+\Biggl[(4\pi-x)\sin kx-\frac{2}{k}\cos kx\Biggr]_{x=4\pi-\frac{2\pi}{k}}^{x=4\pi-\frac{3\pi}{2k}}\\&=\frac{2\pi^{2}}{k}+\left[\left(\frac{3\pi}{2k}\right)-\left(-\frac{2}{k}\right)\right]\\&=\frac{4\pi^{2}+3\pi+4}{2k}\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \int_{4\pi-\frac{5\pi}{2k}}^{4\pi-\frac{3\pi}{2k}}h(x)dx=\frac{4\pi^{2}+3\pi+4}{2k}$이다. 즉, $\displaystyle 2kC=4\pi^{2}+3\pi+4$이다.