자연계열 2교시 1번

(1) 두 테스트에서 팀이 바뀌지 않는 사건을 $\displaystyle A$라 하고, 4명의 학생 모두 프로그램에 합격하는 사건을 $\displaystyle B$라 하자. 남학생을 각각 ㄱ, ㄴ, 여학생을 각각 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$라 하자.

(3) $\displaystyle A$의 경우 $\displaystyle B$의 조건부확률 $\displaystyle P(B\mid A)$는 다음과 같이 구한다.

- 첫 번째 테스트에서 두 팀이 모두 통과할 확률은 $\displaystyle \left(\frac12\right)^2=\frac14$이다. 이 경우 두 번째 테스트의 통과 여부와 관계없이 항상 모두 합격이므로, 합격 확률 역시 $\displaystyle \frac14$이다.Caution. 이 풀이는 서로 다른 팀의 통과 여부가 독립이라는 가정 아래 계산한 것이다. 제시문에 주어진 각 팀의 통과확률만으로는 이 독립성이 보장되지 않는다.

- 첫 번째 테스트에서 두 팀 중 한 팀만 통과할 확률은 $\displaystyle 2\times\left(\frac12\right)^2=\frac12$이다. 이 경우 첫 번째 테스트를 통과한 팀은 항상 합격이며, 첫 번째 테스트를 실패한 팀이 합격할 확률은 $\displaystyle \frac14$이다. 따라서 모두 합격할 확률은 $\displaystyle \frac12\times\frac14=\frac18$이다.

- 첫 번째 테스트에서 두 팀 모두 실패할 확률은 $\displaystyle \left(\frac12\right)^2=\frac14$이다. 이 경우 두 팀 모두 두 번째 테스트를 통과할 확률은 $\displaystyle \left(\frac14\right)^2=\frac1{16}$이다. 따라서 모두 합격할 확률은 $\displaystyle \frac14\times\frac1{16}=\frac1{64}$이다.

(4) $\displaystyle A^c$의 경우 $\displaystyle B$의 조건부확률 $\displaystyle P(B\mid A^c)$는 다음과 같이 구한다.

- 첫 번째 테스트에서 두 팀이 모두 통과했을 경우, 두 번째 테스트의 통과 여부와 관계없이 항상 4명이 모두 합격이므로 합격 확률은 $\displaystyle \frac14$이다.

- 첫 번째 테스트에서 두 팀 중 한 팀만 통과했을 경우, 두 팀 모두 두 번째 테스트를 통과해야 한다. 예를 들어 첫 번째 테스트에서 ㄱ－$\displaystyle a$ 팀이 통과하고 ㄴ－$\displaystyle b$ 팀이 실패했다고 하자. 두 번째 테스트에서 ㄱ－$\displaystyle b$ 팀만 통과한다면 ㄴ은 탈락이며, ㄴ－$\displaystyle a$ 팀만 통과한다면 $\displaystyle b$는 탈락이다. 두 팀 모두 두 번째 테스트를 통과할 확률은 $\displaystyle \frac12\times\frac12=\frac14$이므로, 모두 합격할 확률은 $\displaystyle 2\times\frac14\times\frac14=\frac18$이다.

- 첫 번째 테스트에서 모두 실패했을 경우, 두 팀 모두 두 번째 테스트를 통과해야 한다. 이 확률은 $\displaystyle \frac14$이므로, 모두 합격할 확률은 $\displaystyle \frac14\times\frac14=\frac1{16}$이다.