자연계열 I 1번

(1) 네 양수 $\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$에 대하여, 다음 부등식이 성립함을 보이시오.$\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\le\left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right)^{2}\left(\frac{a_{3}+a_{4}}{2}\right)^{2}\le\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\right)^{4}$풀이: $\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}=(a_{1}a_{2})\cdot(a_{3}a_{4})$로 두 개씩 짝을 지으면, 두 개의 양수에 대한 산술평균과 기하평균 사이의 관계에 의하여 $\displaystyle a_{1}a_{2}\le\left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right)^{2}$과 $\displaystyle a_{3}a_{4}\le\left(\frac{a_{3}+a_{4}}{2}\right)^{2}$를 얻는다. 여기에서$\displaystyle b_{1}=\frac{a_{1}+a_{2}}{2},\ b_{2}=\frac{a_{3}+a_{4}}{2}$라고 하면, $\displaystyle b_{1}$과 $\displaystyle b_{2}$는 양수이므로 두 개의 양수에 대한 산술평균과 기하평균 사이의 관계에 의하여$\displaystyle b_{1}b_{2}\le\left(\frac{b_{1}+b_{2}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{\frac{a_{1}+a_{2}}{2}+\frac{a_{3}+a_{4}}{2}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\right)^{2}$이 성립하므로 위 부등식의 양변을 제곱하면$\displaystyle \left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right)^{2}\left(\frac{a_{3}+a_{4}}{2}\right)^{2}=(b_{1}b_{2})^{2}\le\left(\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\right)^{2}\right)^{2}=\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\right)^{4}$이 성립한다.

(2) 네 양수 $\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$에 대하여, 등식 $\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}=\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\right)^{4}$이 성립하기 위한 필요충분조건이 $\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}$임을 보이시오.풀이: $\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}$이면 $\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}=\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\right)^{4}$임을 간단히 확인할 수 있다.이제 $\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}=\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\right)^{4}$이라고 가정하자. 가정 $\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}=\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\right)^{4}$으로부터$\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\le\left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right)^{2}\left(\frac{a_{3}+a_{4}}{2}\right)^{2}\le\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\right)^{4}=a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}$이므로$\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}=\left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right)^{2}\left(\frac{a_{3}+a_{4}}{2}\right)^{2},\quad\frac{a_{1}+a_{2}}{2}=\frac{a_{3}+a_{4}}{2}$이다.이제 $\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}$이 성립함을 보이도록 하자. 만약 네 양수 중에서 $\displaystyle a_{1}\ne a_{2}$라면, $\displaystyle a_{1}a_{2}<\left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right)^{2}$이기 때문에, $\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}=\left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right)^{2}\left(\frac{a_{3}+a_{4}}{2}\right)^{2}$이 성립하기 위해서는 $\displaystyle a_{3}a_{4}>\left(\frac{a_{3}+a_{4}}{2}\right)^{2}$이어야만 한다. 그러나 두 양수에 대한 산술평균과 기하평균 사이의 관계에 의하여 $\displaystyle a_{3}a_{4}>\left(\frac{a_{3}+a_{4}}{2}\right)^{2}$는 성립할 수 없다. 따라서 귀류법에 의해 $\displaystyle a_{1}=a_{2}$이 성립하여야만 한다. 마찬가지로 $\displaystyle a_{3}=a_{4}$가 성립한다.한편 앞선 결과 $\displaystyle a_{1}=a_{2}$, $\displaystyle a_{3}=a_{4}$와 $\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}}{2}=\frac{a_{3}+a_{4}}{2}$로부터 $\displaystyle a_{1}=a_{3}$이므로, $\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}$가 성립한다.

(3) 자연수 $\displaystyle k$와 $\displaystyle 2^{k}$개의 양수 $\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{2^{k}}$에 대하여$\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{2^{k}}\le\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}\right)^{2^{k}}$가 성립한다고 가정할 때, $\displaystyle 2^{k+1}$개의 양수 $\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{2^{k}},a_{2^{k}+1},a_{2^{k}+2},\cdots,a_{2^{k+1}}$에 대하여 다음 두 부등식이 각각 성립함을 보이시오.$\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{2^{k}}\cdot a_{2^{k}+1}a_{2^{k}+2}\cdots a_{2^{k+1}}\le\left(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}\right)^{2^{k}}\left(\frac{a_{2^{k}+1}+a_{2^{k}+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k}}\right)^{2^{k}},$$\displaystyle \left(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}\right)\left(\frac{a_{2^{k}+1}+a_{2^{k}+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k}}\right)\le\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k}}+a_{2^{k}+1}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right)^{2}$풀이: $\displaystyle 2^{k+1}=2^{k}+2^{k}$이므로, $\displaystyle a_{2^{k}+1},a_{2^{k}+2},\cdots,a_{2^{k+1}}=a_{2^{k}+2^{k}}$는 $\displaystyle 2^{k}$개의 양수들이다. 따라서$\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{2^{k}}a_{2^{k}+1}a_{2^{k}+2}\cdots a_{2^{k+1}}=(a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{2^{k}})\cdot(a_{2^{k}+1}a_{2^{k}+2}\cdots a_{2^{k+1}})$로 구분하여 나타내면, 주어진 가정에 의하여 각각$\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{2^{k}}\le\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}\right)^{2^{k}}$과 $\displaystyle a_{2^{k}+1}a_{2^{k}+2}\cdots a_{2^{k+1}}\le\left(\frac{a_{2^{k}+1}+a_{2^{k}+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k}}\right)^{2^{k}}$이므로 첫 번째 부등식이 성립한다.$\displaystyle b_{1}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}$, $\displaystyle b_{2}=\frac{a_{2^{k}+1}+a_{2^{k}+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k}}$라 하면, 두 번째 부등식은 두 개의 양수에 대한 산술평균과 기하평균 사이의 관계로부터 다음의 식을 유도할 수 있다.$\displaystyle \left(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}\right)\left(\frac{a_{2^{k}+1}+a_{2^{k}+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k}}\right)=b_{1}b_{2}\le\left(\frac{b_{1}+b_{2}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k}}+a_{2^{k}+1}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right)^{2}$

(4) 자연수 $\displaystyle k$와 $\displaystyle 2^{k}$개의 양수 $\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{2^{k}}$에 대하여 부등식$\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{2^{k}}\le\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}\right)^{2^{k}}$이 성립한다고 가정하고, 등식$\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{2^{k}}=\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}\right)^{2^{k}}$가 성립하기 위한 필요충분조건이 $\displaystyle a_{1}=\cdots=a_{2^{k}}$라고 가정할 때, $\displaystyle 2^{k+1}$개의 양수 $\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{2^{k}},a_{2^{k}+1},a_{2^{k}+2},\cdots,a_{2^{k+1}}$에 대하여$\displaystyle a_{1}\cdots a_{2^{k}}\cdot a_{2^{k}+1}\cdots a_{2^{k+1}}=\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k}}+a_{2^{k}+1}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right)^{2^{k+1}}$이 성립하기 위한 필요충분조건이 $\displaystyle a_{1}=\cdots=a_{2^{k}}=a_{2^{k}+1}=\cdots=a_{2^{k+1}}$임을 보이시오.풀이: $\displaystyle a_{1}=\cdots=a_{2^{k}}=a_{2^{k}+1}=\cdots=a_{2^{k+1}}$이면$\displaystyle a_{1}\cdots a_{2^{k+1}}=(a_{1})^{2^{k+1}}=\left(\frac{\sum_{k=1}^{2^{k+1}}a_{1}}{2^{k+1}}\right)^{2^{k+1}}=\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right)^{2^{k+1}}$Comment. 합의 첨자 $\displaystyle k$는 앞에서 고정한 자연수와 구별하여 $\displaystyle i$로 쓰는 것이 적절하다.이므로 $\displaystyle a_{1}\cdots a_{2^{k+1}}=\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right)^{2^{k+1}}$이 성립한다.이제 $\displaystyle a_{1}\cdots a_{2^{k+1}}=\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right)^{2^{k+1}}$일 때, $\displaystyle a_{1}=\cdots=a_{2^{k+1}}$이 성립함을 보이자.우선 $\displaystyle b_{1}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}$과 $\displaystyle b_{2}=\frac{a_{2^{k}+1}+a_{2^{k}+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k}}$라 하면, 위 (3)의 두 부등식으로부터$\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{2^{k}}a_{2^{k}+1}a_{2^{k}+2}\cdots a_{2^{k+1}}\le b_{1}^{2^{k}}\cdot b_{2}^{2^{k}}=(b_{1}b_{2})^{2^{k}}\le\left(\left(\frac{b_{1}+b_{2}}{2}\right)^{2}\right)^{2^{k}}=\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k}}+a_{2^{k}+1}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right)^{2^{k+1}}$이 성립한다. 이때$\displaystyle a_{1}\cdots a_{2^{k+1}}=\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right)^{2^{k+1}}$이면 위 부등식에서 등호가 성립하므로 (3)의 두 부등식에서 등호가 성립한다. (3)의 두 번째 부등식의 등호가 성립하므로 산술평균과 기하평균 사이의 관계에 의하여 $\displaystyle b_{1}=b_{2}$이다. 즉$\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}=\frac{a_{2^{k}+1}+a_{2^{k}+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k}}$이다.이제 $\displaystyle a_{1}\cdots a_{2^{k+1}}=\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right)^{2^{k+1}}$이면 $\displaystyle a_{1}=\cdots=a_{2^{k}}=a_{2^{k}+1}=\cdots=a_{2^{k+1}}$이 성립함을 보이도록 하자.먼저 $\displaystyle a_{1}=\cdots=a_{2^{k}}$와 $\displaystyle a_{2^{k}+1}=\cdots=a_{2^{k+1}}$중에서 적어도 하나의 등호가 성립하지 않는다고 가정하자. $\displaystyle a_{1}=\cdots=a_{2^{k}}$이 성립하지 않는 경우, 주어진 가정에 의하여$\displaystyle a_{1}\cdots a_{2^{k}}<\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}\right)^{2^{k}}$이다. 위 결과로부터 (3)의 첫 번째 부등식에서 등호가 성립하므로$\displaystyle a_{2^{k}+1}a_{2^{k}+2}\cdots a_{2^{k}+2^{k}}>\left(\frac{a_{2^{k}+1}+a_{2^{k}+2}+\cdots+a_{2^{k}+2^{k}}}{2^{k}}\right)^{2^{k}}$이 성립한다. 그러나 이 부등식은 주어진 가정에 모순이다. 따라서 $\displaystyle a_{1}=\cdots=a_{2^{k}}$이 성립하여야만 한다. 마찬가지 방법으로 $\displaystyle a_{2^{k}+1}=\cdots=a_{2^{k+1}}$도 성립하여야 한다.한편 앞선 결과 $\displaystyle a_{1}=\cdots=a_{2^{k}}$, $\displaystyle a_{2^{k}+1}=\cdots=a_{2^{k+1}}$와 $\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2^{k}}}{2^{k}}=\frac{a_{2^{k}+1}+a_{2^{k}+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k}}$로부터 $\displaystyle a_{1}=a_{2^{k}+1}$이다. 그러므로 $\displaystyle a_{1}\cdots a_{2^{k+1}}=\left(\frac{a_{1}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right)^{2^{k+1}}$이면 $\displaystyle a_{1}=\cdots=a_{2^{k}}=a_{2^{k}+1}=\cdots=a_{2^{k+1}}$이다.