자연계열 II 3번

(1) 기울기 $\displaystyle m=\frac{2}{3}$에 대하여 위의 규칙에 따라 정해진 점들 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$ ($\displaystyle n=1,2,3,\cdots$)을 모두 구하시오.풀이: 규칙에 따라 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}=(0,0)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$는 기울기 $\displaystyle m=\frac{2}{3}$이고 원점을 지나는 직선 $\displaystyle y=\frac{2}{3}x$과 직선 $\displaystyle x=1$의 교점이므로 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}=\left(1,\frac{2}{3}\right)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{3}$은 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$위의 점으로 기울기 $\displaystyle m=-\frac{2}{3}$이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}=\left(1,\frac{2}{3}\right)$를 지나는 직선 $\displaystyle y=-\frac{2}{3}(x-1)+\frac{2}{3}$와 직선 $\displaystyle y=1$의 교점이므로 $\displaystyle \mathrm{P}_{3}=\left(\frac{1}{2},1\right)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{4}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{CO}$위의 점으로 기울기 $\displaystyle m=\frac{2}{3}$이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{3}=\left(\frac{1}{2},1\right)$을 지나는 직선 $\displaystyle y=\frac{2}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)+1$와 $\displaystyle y$축의 교점이므로 $\displaystyle \mathrm{P}_{4}=\left(0,\frac{2}{3}\right)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{5}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$위의 점으로 기울기 $\displaystyle m=-\frac{2}{3}$이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{4}=\left(0,\frac{2}{3}\right)$를 지나는 직선 $\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$와 $\displaystyle x$축의 교점이므로 $\displaystyle \mathrm{P}_{5}=(1,0)$이다. $\displaystyle \mathrm{P}_{5}=(1,0)$가 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{B}$이므로 끝점이다.Correction. 이 줄의 꼭짓점 $\displaystyle B$는 $\displaystyle A$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 구하는 점들은 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}=(0,0)$, $\displaystyle \mathrm{P}_{2}=\left(1,\frac{2}{3}\right)$, $\displaystyle \mathrm{P}_{3}=\left(\frac{1}{2},1\right)$, $\displaystyle \mathrm{P}_{4}=\left(0,\frac{2}{3}\right)$, $\displaystyle \mathrm{P}_{5}=(1,0)$이다.

(2) $\displaystyle \frac{1}{20}<m<1$인 기울기 $\displaystyle m$에 대하여 규칙에 따라 정해진 점들이 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 제외한 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$위에 있지 않고 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$이 끝점이 된다. 조건을 만족시키는 기울기 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{m}$을 모두 더한 값을 구하시오.풀이: 주어진 규칙(다)에 따라 점을 정하는 과정은 홀수 번째 점을 지나는 기울기 $\displaystyle m$인 직선과 정사각형의 변의 다른 교점으로 다음 순서인 짝수 번째 점을 정하고, 짝수 번째 점을 지나는 기울기 $\displaystyle -m$인 직선과 정사각형의 변의 다른 교점으로 다음 순서인 홀수 번째 점을 결정한다. 규칙 (다)에서'만약 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$이 끝점이 아니면 $\displaystyle (n+1)$번째 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}$을 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_{n}$과 정사각형의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$을 포함하는 변이 이루는 각의 크기가 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}$과 정사각형의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$을 포함하는 변이 이루는 각의 크기가 같도록 정한다.'는 조건을 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$을 포함하는 정사각형의 한 변에 대하여 대칭이동한 정사각형에 관한 조건으로 생각하면'기울기 $\displaystyle m$, $\displaystyle -m$을 교차로 사용하는 대신 같은 기울기 $\displaystyle m$에 대한 직선과 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$을 포함하는 정사각형의 한 변에 대하여 대칭이동된 정사각형의 변의 교점을 구하고 이를 역으로 대칭 이동하여 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}$을 정한다.'로 바꾸어 활용할 수 있다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$부터 차례로 $\displaystyle n$ ($\displaystyle n>1$)번째 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$이 정해졌을 때, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$을 포함하는 변에 대하여 주어진 정사각형을 대칭이동하고 이동된 정사각형과 선 $\displaystyle y=mx$의 교점으로 $\displaystyle \mathrm{P}_{3}$에 대응하는 점을 정한다. 이렇게 이동된 정사각형과 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{3}$에 대응하는 점에 대하여 이 대응점을 포함하는 변에 대하여 대칭이동하고 이 정사각형과 직선 $\displaystyle y=mx$의 교점으로 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{4}$에 대응하는 점을 구한다. 이런 과정을 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{k}$ ($\displaystyle 1\le k\le n-1$)에 대응하는 정사각형과 변에 대하여 차례로 시행하면 처음 주어진 정사각형을 오른쪽 또는 위쪽으로 차례로 대칭 이동하며 $\displaystyle (n-1)$개의 정사각형을 차례로 얻을 수 있으며 구하는 점들은 직선 $\displaystyle y=mx$와 이들 정사각형들의 변의 교점에 대응한다. 이때 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$이 이동될 수 있는 좌표평면의 점은 자연수 $\displaystyle p,q$ ($\displaystyle p\ge q$)에 대하여 $\displaystyle (2p,2q-1)$이다.꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$이 끝점이므로 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$이 이동될 수 있는 점 $\displaystyle (2p,2q-1)$을 지나는 직선으로 점들이 정해진다. 이때 만약 $\displaystyle 2p$와 $\displaystyle 2q-1$이 서로소가 아니면 점 $\displaystyle (2p,2q-1)$이전에 끝점에 대응하는 점이 결정되어 점 $\displaystyle (2p,2q-1)$에 대응하는 점을 끝점으로 정할 수 없다. 따라서 점 $\displaystyle (2p,2q-1)$이 끝점에 대응하기 위하여 $\displaystyle 2p$와 $\displaystyle 2q-1$이 서로소이다.주어진 규칙에 따라 정해진 점들이 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 점을 포함하지 않으므로 위쪽으로의 대칭이동 없이 오른쪽으로만의 대칭이동이 이루어진다. 따라서 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$이 이동될 수 있는 $\displaystyle (2p,2q-1)$은 $\displaystyle (2p,1)$꼴이다.그러므로 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 제외한 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 점을 포함하지 않고 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$이 끝점이 되는 조건을 만족하며 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$이 이동되는 점은 $\displaystyle (2p,1)$꼴이며 이 점과 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}=(0,0)$를 지나는 직선의 기울기 $\displaystyle m=\frac{1}{2p}$이다. 자연수 $\displaystyle 2p,1$이 서로소이므로 $\displaystyle \frac{1}{20}<\frac{1}{2p}<1$을 만족하는 모든 자연수 $\displaystyle p$에 대하여 성립한다. $\displaystyle \frac{1}{2}<p<10$이므로 구하는 값은$\displaystyle \sum_{p=1}^{9}\left(\frac{1}{2p}\right)^{-1}=2\sum_{p=1}^{9}p=2\cdot\frac{9(9+1)}{2}=90$이다.

(3) 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$가 끝점 $\displaystyle \mathrm{P}_{15}$이 되는 기울기 $\displaystyle m$을 모두 구하시오.풀이: 끝점 $\displaystyle \mathrm{P}_{15}$가 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$이 되기 위해서는 $\displaystyle \mathrm{P}_{k}$ ($\displaystyle 1\le k\le14$)은 모두 꼭짓점이 아닌 변 위에 존재하고 이 변들은 문항 (2)의 풀이와 같이 대칭에 활용된다.Correction. $\displaystyle 1\le k\le14$는 $\displaystyle 2\le k\le14$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$을 대칭 이동하여 도달할 수 있는 점은 자연수 $\displaystyle p,q$ ($\displaystyle p\ge q$)에 대하여 $\displaystyle (2p,2q-1)$의 꼴이며 $\displaystyle 2p$와 $\displaystyle 2q-1$이 서로소이다. 문항 (2)의 풀이와 주어진 정사각형을 오른쪽 또는 위로 대칭하여 $\displaystyle (2p,2q-1)$이 원점에서 가장 먼 점이 되려면 위로 $\displaystyle 2p-1$번 대칭이동하고 오른쪽으로 $\displaystyle 2q-2$번 대칭이동 해야 한다.Correction. 오른쪽으로 $\displaystyle 2p-1$번, 위로 $\displaystyle 2q-2$번 대칭이동한다. 두 방향이 서로 바뀌어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.끝점 $\displaystyle \mathrm{P}_{15}$가 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$이 되기 위해서는 총 $\displaystyle 13$회 대칭 이동하여야 하므로 $\displaystyle \mathrm{C}(0,1)$에 대응하는 점 $\displaystyle (2p,2q-1)$에 대하여 $\displaystyle (2p-1)+(2q-2)=13$를 만족한다. 따라서 $\displaystyle p+q=8$이므로 조건을 만족하는 자연수 $\displaystyle p,q$ ($\displaystyle p\ge q$)에 대응하는 점 $\displaystyle (2p,2q-1)$은$\displaystyle (14,1),(12,3),(10,5),(8,7)$이며 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표가 서로소인 것은 $\displaystyle (14,1),(8,7)$이므로 구하는 기울기는 $\displaystyle \frac{1}{14},\frac{7}{8}$이다.