자연계열 I 2번

(1) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식 $\displaystyle a<a_{n}<b$이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 보이시오.풀이: (i) $\displaystyle a<b$이므로 $\displaystyle a<\frac{a+b}{2}<b$이다. $\displaystyle a_{1}=\frac{a+b}{2}$이므로 $\displaystyle a<a_{1}<b$이다.한편,$\displaystyle a_{2}-a=\frac{2aa_{1}}{a+a_{1}}-a=\frac{a(2a_{1}-a-a_{1})}{a+a_{1}}=\frac{a(a_{1}-a)}{a+a_{1}}$이고 $\displaystyle 0<a<a_{1}$이므로 $\displaystyle a<a_{2}$이다. 또한$\displaystyle b-a_{2}=b-\frac{2aa_{1}}{a+a_{1}}=\frac{ba+ba_{1}-2aa_{1}}{a+a_{1}}=\frac{a(b-a_{1})+a_{1}(b-a)}{a+a_{1}}$이고 $\displaystyle 0<a<a_{1}<b$이므로 $\displaystyle a_{2}<b$이다.따라서 $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle a<a_{2n-1}<b$, $\displaystyle a<a_{2n}<b$가 성립한다.(ii) 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a<a_{2n-1}<b$, $\displaystyle a<a_{2n}<b$가 성립함을 가정하면,$\displaystyle \frac{a+a}{2}<\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{2}<\frac{b+b}{2}$이고$\displaystyle a_{2n+1}=\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{2}$이므로 $\displaystyle a<a_{2n+1}<b$이다.한편,$\displaystyle a_{2n+2}-a=\frac{2a_{2n}a_{2n+1}}{a_{2n}+a_{2n+1}}-a=\frac{2a_{2n}a_{2n+1}-aa_{2n}-aa_{2n+1}}{a_{2n}+a_{2n+1}}=\frac{a_{2n}(a_{2n+1}-a)+a_{2n+1}(a_{2n}-a)}{a_{2n}+a_{2n+1}}$이고 $\displaystyle 0<a<a_{2n}$, $\displaystyle 0<a<a_{2n+1}$이므로 $\displaystyle a<a_{2n+2}$이다. 또한$\displaystyle b-a_{2n+2}=b-\frac{2a_{2n}a_{2n+1}}{a_{2n}+a_{2n+1}}=\frac{ba_{2n}+ba_{2n+1}-2a_{2n}a_{2n+1}}{a_{2n}+a_{2n+1}}=\frac{a_{2n}(b-a_{2n+1})+a_{2n+1}(b-a_{2n})}{a_{2n}+a_{2n+1}}$이고 $\displaystyle 0<a_{2n}<b$, $\displaystyle 0<a_{2n+1}<b$이므로 $\displaystyle a_{2n+2}<b$이다. 따라서 $\displaystyle a<a_{2n+2}<b$이다.(i)과 (ii)에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a<a_{n}<b$이 성립한다.

(2) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식 $\displaystyle a_{2n}<a_{2n+1}$이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 보이시오.풀이: (i) $\displaystyle a>0$이고 (1)의 결과로부터 $\displaystyle a_{1}>a$이므로$\displaystyle a_{3}-a_{2}=\frac{a_{1}+a_{2}}{2}-a_{2}=\frac{a_{1}-a_{2}}{2}=\frac{1}{2}\left(a_{1}-\frac{2aa_{1}}{a+a_{1}}\right)=\frac{a_{1}}{2(a+a_{1})}(a+a_{1}-2a)=\frac{a_{1}(a_{1}-a)}{2(a+a_{1})}>0$이다. 따라서 $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle a_{2n}<a_{2n+1}$가 성립한다.(ii) 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{2n}<a_{2n+1}$이 성립함을 가정하자.$\displaystyle a_{2n+3}-a_{2n+2}=\frac{a_{2n+1}+a_{2n+2}}{2}-a_{2n+2}=\frac{a_{2n+1}-a_{2n+2}}{2}$이고 $\displaystyle a_{2n+2}=\frac{2a_{2n}a_{2n+1}}{a_{2n}+a_{2n+1}}$이므로$\displaystyle a_{2n+3}-a_{2n+2}=\frac{a_{2n+1}}{2(a_{2n}+a_{2n+1})}(a_{2n}+a_{2n+1}-2a_{2n})=\frac{a_{2n+1}}{2(a_{2n}+a_{2n+1})}(a_{2n+1}-a_{2n})$이다. (1)의 결과로부터 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n}>a>0$이고, 가정으로부터 $\displaystyle a_{2n}<a_{2n+1}$이므로 $\displaystyle a_{2n+2}<a_{2n+3}$이 성립한다.(i)과 (ii)에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{2n}<a_{2n+1}$이 성립한다.

(3) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식 $\displaystyle a_{2n-1}>a_{2n+1}$이 성립함을 보이시오.풀이: (i) $\displaystyle n=1$일 때,$\displaystyle a_{3}-a_{1}=\frac{a_{1}+a_{2}}{2}-a_{1}=\frac{a_{2}-a_{1}}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{2aa_{1}}{a+a_{1}}-a_{1}\right)=\frac{a_{1}}{2(a+a_{1})}(a-a_{1})$이고, $\displaystyle a_{1}>a$이므로 $\displaystyle a_{3}<a_{1}$이 성립한다.(ii) 자연수 $\displaystyle n=2,3,4,\cdots$에 대하여$\displaystyle a_{2n+1}-a_{2n-1}=\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{2}-a_{2n-1}=\frac{a_{2n}-a_{2n-1}}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{2a_{2n-2}a_{2n-1}}{a_{2n-2}+a_{2n-1}}-a_{2n-1}\right)=\frac{a_{2n-1}(a_{2n-2}-a_{2n-1})}{2(a_{2n-2}+a_{2n-1})}$이다. 한편, (1)의 결과로부터 $\displaystyle a_{n}>a>0$ ($\displaystyle n=1,2,3,\cdots$)이고, (2)의 결과로부터 $\displaystyle a_{2n-2}<a_{2n-1}$ ($\displaystyle n=2,3,4,\cdots$)이므로 $\displaystyle a_{2n-1}>a_{2n+1}$이 성립한다.

(4) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식 $\displaystyle a_{2n}<a_{2n+2}$이 성립함을 보이시오.풀이: 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle a_{2n+2}-a_{2n}=\frac{2a_{2n}a_{2n+1}}{a_{2n}+a_{2n+1}}-a_{2n}=\frac{a_{n}}{a_{2n}+a_{2n+1}}(2a_{2n+1}-a_{2n}-a_{2n+1})=\frac{a_{n}}{a_{2n}+a_{2n+1}}(a_{2n+1}-a_{2n})$Correction. 두 분자의 $\displaystyle a_n$은 $\displaystyle a_{2n}$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 한편, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 (1)의 결과로부터 $\displaystyle a_{n}>a>0$이고, (2)의 결과로부터 $\displaystyle a_{2n}<a_{2n+1}$이므로 $\displaystyle a_{2n}<a_{2n+2}$이 성립한다.