자연계열 II 2번

(1) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(n)=1$임을 보이시오.풀이: 조건 (가)에 의해 $\displaystyle f(0)=|\cos0|=1$이다. 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해서, 조건 (다)에 의해,$\displaystyle f(n)=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}\left(f(2^{n}(n-n)-[2^{n}(n-n)])-1\right)=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}(f(0)-1)=1$이다.

(2) 직선 $\displaystyle y=\frac{8}{9}$과 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 교점의 개수를 구하시오.풀이: 그래프의 개형을 살펴보고 양수 $\displaystyle x$를 $\displaystyle 0<x\le1$, $\displaystyle 1\le x\le2$, $\displaystyle 2\le x\le3$, $\displaystyle 3\le x$로 나누어 살펴본다.조건 (다)에 의해 임의의 자연수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle 0\le k<n$인 음이 아닌 정수 $\displaystyle k$에 대해서,Correction. 두 곳의 $\displaystyle 0\le k<n$은 $\displaystyle 0\le k<2^n$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle n+\frac{k}{2^{n}}\le x<n+\frac{k+1}{2^{n}}$인 실수 $\displaystyle x$가 $\displaystyle [2^{n}(x-n)]=k$를 만족하고 $\displaystyle 0\le2^{n}(x-n)-k<1$이므로$\displaystyle f(x)=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}\left(f(2^{n}(x-n)-[2^{n}(x-n)])-1\right)=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}\left(f(2^{n}(x-n)-k)-1\right)$이고 $\displaystyle -1\le f(2^{n}(x-n)-k)-1\le0$이다.(ㄱ) 만약 $\displaystyle 3\le x$이면 $\displaystyle n\ge3$이고, $\displaystyle 0\le k<n$인 모든 음이 아닌 정수와$\displaystyle n+\frac{k}{2^{n}}\le x<n+\frac{k+1}{2^{n}}$인 실수 $\displaystyle x$에 대해서 $\displaystyle n$이 홀수이면 부등식$\displaystyle f(x)\ge1>\frac{8}{9}$을 만족시키고, $\displaystyle n$이 짝수이면 부등식$\displaystyle f(x)\ge1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}\ge\frac{80}{81}>\frac{8}{9}$을 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle 3\le x$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=\frac{8}{9}$인 실수는 존재하지 않는다.(ㄴ) 만약 $\displaystyle 0\le x<1$이면, $\displaystyle f(x)=|\cos\pi x|$이므로 $\displaystyle f(x)=\frac{8}{9}$인 양의 실수 $\displaystyle x$의 개수는 $\displaystyle 2$이다.(ㄷ) 만약 $\displaystyle 1\le x<2$이면, 위 식에 의해 $\displaystyle f(x)=1+\left(-\frac{1}{3}\right)(f(2(x-1)-[2(x-1)])-1)$이고 $\displaystyle -1\le f(2(x-1)-[2(x-1)])-1\le0$이다.따라서 $\displaystyle 1\le x<2$인 실수 $\displaystyle x$는$\displaystyle 1=1+\left(-\frac{1}{3}\right)\times0\le1+\left(-\frac{1}{3}\right)(f(2(x-1)-[2(x-1)])-1)\le1+\left(-\frac{1}{3}\right)\times(-1)=\frac{4}{3}$을 항상 만족하므로 $\displaystyle f(x)=\frac{8}{9}$인 실수 $\displaystyle x$가 이 범위에서는 존재하지 않는다.(ㄹ) 실수 $\displaystyle x$는 $\displaystyle 2\le x<3$이고 $\displaystyle f(x)=\frac{8}{9}$을 만족시킨다고 하자. 위 식에 의해$\displaystyle f(4(x-2)-[4(x-2)])=0$이다.(a) $\displaystyle 2\le x<\frac{9}{4}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle 0\le4(x-2)<1$이므로 이 범위에서는 $\displaystyle x=\frac{17}{8}$만 방정식 $\displaystyle f(4(x-2)-[4(x-2)])=f(4(x-2))=|\cos(4\pi x-8\pi)|=0$을 만족한다.(b) $\displaystyle \frac{9}{4}\le x<\frac{10}{4}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle 1\le4(x-2)<2$이므로 이 범위에서는 $\displaystyle x=\frac{19}{8}$만 방정식 $\displaystyle f(4(x-2)-[4(x-2)])=f(4(x-2)-1)=|\cos(4\pi x-9\pi)|=0$을 만족한다.(c) $\displaystyle \frac{10}{4}\le x<\frac{11}{4}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle 2\le4(x-2)<3$이므로 이 범위에서는 $\displaystyle x=\frac{21}{8}$만 방정식 $\displaystyle f(4(x-2)-[4(x-2)])=f(4(x-2)-2)=|\cos(4\pi x-10\pi)|=0$을 만족한다.(d) $\displaystyle \frac{11}{4}\le x<3$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle 3\le4(x-2)<4$이므로 이 범위에서는 $\displaystyle x=\frac{23}{8}$만 방정식 $\displaystyle f(4(x-2)-[4(x-2)])=f(4(x-2)-3)=|\cos(4\pi x-11\pi)|=0$을 만족한다.따라서 $\displaystyle 2\le x<3$인 범위 내에서는 $\displaystyle x=\frac{17}{8},\frac{19}{8},\frac{21}{8},\frac{23}{8}$에서만 $\displaystyle f(x)=\frac{8}{9}$을 만족한다.(ㄱ), (ㄴ), (ㄷ), (ㄹ)에 따라 $\displaystyle f(x)=\frac{8}{9}$을 만족하는 양수인 실수 $\displaystyle x$의 개수는 $\displaystyle 6$이다. $\displaystyle f(0)=1$이고 조건 (나)에 의해 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f(x)=f(-x)$를 만족하므로, $\displaystyle f(x)=\frac{8}{9}$을 만족하는 실수 $\displaystyle x$의 개수는 $\displaystyle 12$이다.

(3) $\displaystyle \int_{-3}^{3}f(x)\,dx$의 값을 구하시오.풀이: 조건 (나)에 의해 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f(x)=f(-x)$를 만족하므로,$\displaystyle \int_{-3}^{3}f(x)\,dx=2\int_{0}^{3}f(x)\,dx$이다. 조건 (가)와 (1)에 의해, 모든 $\displaystyle 0\le x\le1$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=|\cos\pi x|$이므로$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=\int_{0}^{1}|\cos\pi x|\,dx=\int_{0}^{1/2}\cos\pi x\,dx-\int_{1/2}^{1}\cos\pi x\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\frac{2}{\pi}$이다. 조건 (다)에 의해, $\displaystyle 1\le x<\frac{3}{2}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle 0\le2x-2<1$이므로$\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{3}(f(2x-2)-1)=1-\frac{1}{3}(|\cos(2\pi x-2\pi)|-1)=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}(|\cos(2\pi x-2\pi)|)$이고 $\displaystyle \frac{3}{2}\le x<2$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle 0\le2x-3<1$이므로$\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{3}(f(2x-3)-1)=1-\frac{1}{3}(|\cos(2\pi x-3\pi)|-1)=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}(|\cos(2\pi x-3\pi)|)$이다. 따라서$\displaystyle \int_{1}^{2}f(x)\,dx=\int_{1}^{3/2}f(x)\,dx+\int_{3/2}^{2}f(x)\,dx=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(\int_{1}^{3/2}|\cos(2\pi x-2\pi)|dx+\int_{3/2}^{2}|\cos(2\pi x-3\pi)|dx\right)$이고 치환적분법에 의해,$\displaystyle \begin{aligned}\int_{1}^{2}f(x)\,dx&=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(\int_{1}^{3/2}|\cos(2\pi x-2\pi)|dx+\int_{3/2}^{2}|\cos(2\pi x-3\pi)|dx\right)\\&=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\int_{0}^{1}|\cos\pi x|\,dx=\frac{4}{3}-\frac{2}{3\pi}\end{aligned}$이다. 비슷하게, 조건 (다)에 의해, $\displaystyle 2\le x<\frac{9}{4}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle 0\le4x-8<1$이므로$\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{9}(f(4x-8)-1)=1+\frac{1}{9}(|\cos(4\pi x-8\pi)|-1)=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}(|\cos(4\pi x-8\pi)|)$이고 $\displaystyle \frac{9}{4}\le x<\frac{10}{4}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle 0\le4x-9<1$이므로$\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{9}(f(4x-9)-1)=1+\frac{1}{9}(|\cos(4\pi x-9\pi)|-1)=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}(|\cos(4\pi x-9\pi)|)$이고 $\displaystyle \frac{10}{4}\le x<\frac{11}{4}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle 0\le4x-10<1$이므로$\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{9}(f(4x-10)-1)=1+\frac{1}{9}(|\cos(4\pi x-10\pi)|-1)=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}(|\cos(4\pi x-10\pi)|)$이고 $\displaystyle \frac{11}{4}\le x<3$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle 0\le4x-11<1$이므로$\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{9}(f(4x-11)-1)=1+\frac{1}{9}(|\cos(4\pi x-11\pi)|-1)=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}(|\cos(4\pi x-11\pi)|)$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int_{2}^{3}f(x)\,dx=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}\bigg(&\int_{2}^{9/4}|\cos(4\pi x-8\pi)|\,dx+\int_{9/4}^{5/2}|\cos(4\pi x-9\pi)|\,dx\\&+\int_{5/2}^{11/4}|\cos(4\pi x-10\pi)|\,dx+\int_{11/4}^{3}|\cos(4\pi x-11\pi)|\,dx\bigg)\end{aligned}$이고 치환적분법에 의해$\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)\,dx=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}\int_{0}^{1}|\cos\pi x|\,dx=\frac{8}{9}+\frac{2}{9\pi}$이다. 정리하면,$\displaystyle \int_{-3}^{3}f(x)\,dx=2\int_{0}^{3}f(x)\,dx=2\left(\frac{2}{\pi}+\frac{4}{3}-\frac{2}{3\pi}+\frac{8}{9}+\frac{2}{9\pi}\right)=\frac{28}{9\pi}+\frac{40}{9}$이다.