자연계열 II 1번

(1) 다음 두 등식이 성립함을 보이시오.$\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin^{2}x-\cos^{2}x)=4\sin x\cos x,\quad\sin^{2}x\cos^{2}x=\frac{1}{2}(1-\sin^{4}x-\cos^{4}x)$풀이: 삼각함수의 미분에 의해, $\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x$, $\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$이다. 함수의 곱의 미분법에 의해, $\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin^{2}x-\cos^{2}x)=4\sin x\cos x$이 성립한다. 한편, $\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}\sin^{2}x\cos^{2}x&=\frac{1}{2}((\sin^{2}x+\cos^{2}x)^{2}-\sin^{4}x-\cos^{4}x)\\&=\frac{1}{2}(1-\sin^{4}x-\cos^{4}x)\end{aligned}$이다.

(2) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle S_{n+1}=\frac{2n-1}{2n}S_{n}+\frac{1}{2^{n+2}n}$이 성립함을 보이시오.풀이: 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 문항 (1)의 첫 번째 등식을 이용하여 부분적분법을 적용하면,$\displaystyle \begin{aligned}S_{n}&=\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{(2\sin^{4}x+2\cos^{4}x)^{n}}(\sin^{2}x-\cos^{2}x)^{\prime}\,dx\\&=\frac{1}{4}\Biggl[\frac{\sin^{2}x-\cos^{2}x}{(2\sin^{4}x+2\cos^{4}x)^{n}}\Biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-(-2n)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x\cos x(\sin^{2}x-\cos^{2}x)^{2}}{(2\sin^{4}x+2\cos^{4}x)^{n+1}}\,dx\\&=\frac{1}{2^{n+1}}+2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x\cos x(\sin^{4}x+\cos^{4}x-2\sin^{2}x\cos^{2}x)}{(2\sin^{4}x+2\cos^{4}x)^{n+1}}\,dx\end{aligned}$이다. 문항 (1)의 두 번째 등식을 대입하면,$\displaystyle \begin{aligned}S_{n}&=\frac{1}{2^{n+1}}+2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x\cos x}{(2\sin^{4}x+2\cos^{4}x)^{n}}-\frac{\sin x\cos x}{(2\sin^{4}x+2\cos^{4}x)^{n+1}}\right)dx\\&=\frac{1}{2^{n+1}}+2nS_{n}-2nS_{n+1}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle S_{n+1}=\frac{2n-1}{2n}S_{n}+\frac{1}{2^{n+2}n}$이다.

(3) 모든 자연수 $\displaystyle m$에 대해 수열 $\displaystyle A_{m}$을 $\displaystyle A_{m}=\frac{2}{1}\times\frac{4}{3}\times\frac{6}{5}\times\cdots\times\frac{2m}{2m-1}$이라 정의한다. 모든 자연수 $\displaystyle m$에 대해 부등식 $\displaystyle \sqrt{2m+1}\le A_{m}\le2\sqrt{m}$이 성립함을 보이시오.풀이: 수학적 귀납법을 사용하여 증명한다.$\displaystyle m=1$이면 $\displaystyle A_{1}=2$이므로 주어진 부등식은 성립한다.$\displaystyle m=k$일 때 $\displaystyle \sqrt{2k+1}\le A_{k}\le2\sqrt{k}$이 성립한다고 가정하자. 정의에 의해 $\displaystyle A_{k+1}=\frac{2k+2}{2k+1}A_{k}$이므로,$\displaystyle \frac{2k+2}{\sqrt{2k+1}}\le A_{k+1}\le\frac{4(k+1)\sqrt{k}}{2k+1}$이 성립한다. 한편, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식$\displaystyle (2n+1)(2n+3)<(2n+2)^{2},\quad4n(n+1)<(2n+1)^{2}$이 성립하므로, $\displaystyle \sqrt{2k+3}\le\frac{2k+2}{\sqrt{2k+1}}$, $\displaystyle \frac{4(k+1)\sqrt{k}}{2k+1}\le2\sqrt{k+1}$이다. 그러므로 $\displaystyle m=k+1$일 때 주어진 부등식이 성립한다.따라서 수학적 귀납법에 의하여 주어진 부등식은 모든 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 성립한다.

(4) 임의의 실수 $\displaystyle \alpha$에 대하여 $\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$이면 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^{n}\frac{n^{\alpha}\sqrt{k}}{A_{n}}(A_{k}S_{k+1}-A_{k-1}S_{k})$이 $\displaystyle 0$임을 보이시오.풀이: 문항 (2)로부터 식 $\displaystyle A_{k}S_{k+1}-A_{k-1}S_{k}=\frac{A_{k}}{2^{k+2}k}$을 $\displaystyle 2$이상의 모든 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 얻는다. 그러므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^{n}\frac{n^{\alpha}\sqrt{k}}{A_{n}}(A_{k}S_{k+1}-A_{k-1}S_{k})=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^{n}\frac{n^{\alpha}A_{k}}{A_{n}2^{k+2}\sqrt{k}}$이다. $\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$일 때, 위 극한값이 $\displaystyle 0$임을 확인한다. 문항 (3)에 의해,$\displaystyle \frac{A_{k}}{\sqrt{k}}\le2,\quad\frac{1}{A_{n}}\le\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$이므로, 부등식$\displaystyle \begin{aligned}0\le\sum_{k=2}^{n}\frac{n^{\alpha}A_{k}}{A_{n}2^{k+2}\sqrt{k}}&=\frac{n^{\alpha}}{A_{n}}\sum_{k=2}^{n}\frac{A_{k}}{2^{k+2}\sqrt{k}}\\&\le\frac{n^{\alpha}}{\sqrt{2n+1}}\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{n^{\alpha}}{\sqrt{2n+1}}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^{n+1}}\right)\end{aligned}$이 성립한다. $\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$라 가정하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/2-\alpha}}=0$이므로, 극한값이$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{\alpha}}{\sqrt{2n+1}}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^{n+1}}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/2-\alpha}}\sqrt{\frac{n}{2n+1}}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^{n+1}}\right)=0$이고, 따라서 극한의 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^{n}\frac{n^{\alpha}\sqrt{k}}{A_{n}}(A_{k}S_{k+1}-A_{k-1}S_{k})=0$을 얻는다.