자연계열 I 3번

(1) 임의의 실수 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$에 대해 좌표평면의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(2\cos t,\sin t)$를 모두 지나고 두 점 $\displaystyle \mathrm{F}(-\sqrt{3},0)$, $\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}(\sqrt{3},0)$에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$까지 거리의 합이 일정한 이차곡선의 방정식을 구하시오.풀이: 두 점에서 거리의 합이 일정한 이차곡선은 타원이며, 중심이 원점이고 두 초점이 $\displaystyle x$축 위에 있는 타원의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (단, $\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}$)$\displaystyle c^{2}=3$이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 이 곡선 위에 있으므로, 다음의 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \frac{4\cos^{2}t}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}t}{a^{2}-3}=1$위 식은 $\displaystyle t=0$일 때에도 성립하므로 $\displaystyle a^{2}=4$이다. 따라서 타원의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

(2) 임의의 실수 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$에 대해 좌표평면의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(3\sec t,2\tan t)$를 모두 지나고 두 점 $\displaystyle \mathrm{F}(-\sqrt{13},0)$, $\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}(\sqrt{13},0)$에서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$까지 거리의 차가 일정한 이차곡선의 방정식을 구하시오.풀이: 두 점에서 거리의 차가 일정한 이차곡선은 쌍곡선이며, 중심이 원점이고 두 초점이 $\displaystyle x$축 위에 있는 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (단, $\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}$)$\displaystyle c^{2}=13$이고 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 이 곡선 위에 있으므로, 다음의 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \frac{9\sec^{2}t}{a^{2}}-\frac{4\tan^{2}t}{13-a^{2}}=1$위 식은 $\displaystyle t=0$일 때에도 성립하므로 $\displaystyle a^{2}=9$이다. 따라서 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$

(3) $\displaystyle 2$보다 큰 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 좌표평면 위의 세 점 $\displaystyle \mathrm{A}\left(-\frac{3}{2},0\right)$, $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\left(2\cos\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right),\sin\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)\right)$, $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}\left(3\sec\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right),2\tan\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)\right)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 $\displaystyle \frac{5}{4}B_{n}$이라 할 때, $\displaystyle B_{n}$을 구하시오.풀이: $\displaystyle 2$보다 큰 자연수 $\displaystyle n$에 대해 각 $\displaystyle \theta_{n}=\frac{\pi}{2^{n}}$이라 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{AP}_{n}$의 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}_{n}}=\sqrt{\left(2\cos\theta_{n}+\frac{3}{2}\right)^{2}+(\sin\theta_{n})^{2}}$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$을 지나는 직선 $\displaystyle \ell$의 방정식은$\displaystyle \sin\theta_{n}x-\left(2\cos\theta_{n}+\frac{3}{2}\right)y+\frac{3}{2}\sin\theta_{n}=0$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}=\left(3\sec\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right),2\tan\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)\right)$에서 직선 $\displaystyle \ell$까지의 거리는$\displaystyle h=\frac{\left|\sin\theta_{n}(3\sec\theta_{n})-\left(2\cos\theta_{n}+\frac{3}{2}\right)(2\tan\theta_{n})+\frac{3}{2}\sin\theta_{n}\right|}{\sqrt{\sin^{2}\theta_{n}+\left(2\cos\theta_{n}+\frac{3}{2}\right)^{2}}}=\frac{5|\sin\theta_{n}|}{2\overline{\mathrm{AP}_{n}}}$이고, 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AP}_{n}\mathrm{Q}_{n}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AP}_{n}}\times h=\frac{5}{4}|\sin\theta_{n}|$이다. $\displaystyle 0<\theta_{n}=\frac{\pi}{2^{n}}<\frac{\pi}{2}$이므로, $\displaystyle B_{n}=\sin\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)$이다.

(4) 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=\sin x$의 역함수를 $\displaystyle g(x)$라 하자. $\displaystyle 2$보다 큰 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle C_{n}=\int_{0}^{1}\frac{B_{n}}{\cos(g(B_{n}x))}\,dx$로 정의할 때, 급수 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}C_{n}$의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오.풀이: 치환적분을 이용하면 $\displaystyle C_{n}=\int_{0}^{B_{n}}\frac{1}{\cos(g(x))}\,dx$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=\cos x$이므로 역함수의 미분법에 의해$\displaystyle g^{\prime}(x)=(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}=\frac{1}{\cos(g(x))}$임을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle \frac{1}{\cos(g(x))}$의 한 부정적분이 된다. 정적분의 정의에 의해 $\displaystyle C_{n}=\int_{0}^{B_{n}}g^{\prime}(x)\,dx=g(B_{n})-g(0)$이고, $\displaystyle n\ge2$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<\frac{\pi}{2^{n}}<\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle g(B_{n})=g\left(f\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)\right)=\frac{\pi}{2^{n}}$이다. $\displaystyle g(0)=0$이므로 $\displaystyle C_{n}=\frac{\pi}{2^{n}}$임을 알 수 있고, 급수 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}C_{n}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 등비급수가 되므로 수렴하며, 그 합은 $\displaystyle \frac{\frac{\pi}{4}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{2}$이다.