자연계열 I 1번

1-(1) 삼차함수 $\displaystyle f(x)$를 구하시오.[풀이]함수 $\displaystyle f(x)$에 $\displaystyle x=0$을 대입하면, 조건 (가)로부터 $\displaystyle f(-0)=-f(0)$이므로 $\displaystyle f(0)=0$이다.

한편, $\displaystyle g(2)=\sin\pi=0$이므로 조건 (나)로부터 $\displaystyle f(2)=g(2)=0$이다.

다시 조건 (가)를 적용하면 $\displaystyle f(-2)=-f(2)=0$이다. 따라서 삼차함수 $\displaystyle f(x)$는$\displaystyle f(x)=ax(x-2)(x+2)$ ($\displaystyle a\ne0$인 상수)임을 알 수 있다.

또한 $\displaystyle g(1)=\sin\frac{\pi}{2}=1$이므로 조건 (나)로부터 $\displaystyle f(1)=g(1)=1$이다. 따라서 $\displaystyle -3a=1$이다.

즉 $\displaystyle a=-\frac{1}{3}$이다. 따라서 삼차함수 $\displaystyle f(x)$는$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x(x-2)(x+2)=-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{4}{3}x$이다.

1-(2) $\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식 $\displaystyle \sin x\ge\frac{2}{\pi}x$가 성립함을 보이시오.[풀이]함수 $\displaystyle k(x)=\sin x$는 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle k^{\prime\prime}(x)=-\sin x<0$이므로 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 위로 볼록이다.

함수 $\displaystyle k(x)$에 대하여 $\displaystyle k(0)=0$, $\displaystyle k\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$이므로,

점 $\displaystyle (0,0)$과 점 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{2},1\right)$을 잇는 선분 $\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$보다 $\displaystyle y=k(x)$의 그래프가 위에 있다. 따라서$\displaystyle k(x)=\sin x>\frac{2}{\pi}x\quad\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$ …… ①이다.

결론적으로 $\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \sin x\ge\frac{2}{\pi}x$이다.

1-(3) $\displaystyle f^{\prime}(c)=g^{\prime}(c)$를 만족시키는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 오직 하나 존재함을 보이시오.[풀이]함수 $\displaystyle h(x)$를$\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)$라 할 때, 도함수는$\displaystyle h^{\prime}(x)=-x^{2}+\frac{4}{3}-\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x$이다.

도함수 $\displaystyle h^{\prime}(x)$는 $\displaystyle h^{\prime}(0)=\frac{4}{3}-\frac{\pi}{2}<0$이고 $\displaystyle h^{\prime}(1)=\frac{1}{3}>0$이다.

도함수 $\displaystyle h^{\prime}(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이므로 사잇값의 정리에 의해 $\displaystyle h^{\prime}(c)=0$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 적어도 하나 존재한다.

식 ①에 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}t$로 치환하여 대입하면 $\displaystyle 0<t<1$인 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}t>t$임을 알 수 있다.

따라서 $\displaystyle 0<x<1$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=-2x+\frac{\pi^{2}}{4}\sin\frac{\pi}{2}x>-2x+\frac{\pi^{2}}{4}x>0$이다.

그러므로 도함수 $\displaystyle h^{\prime}(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 증가하므로 $\displaystyle h^{\prime}(c)=0$을 만족시키는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 오직 하나 존재한다. $\displaystyle h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(c)=g^{\prime}(c)$를 만족시키는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 오직 하나 존재한다.

1-(4) $\displaystyle 0\le x\le1$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식 $\displaystyle f(x)\le g(x)$가 성립함을 보이시오.[풀이]문항 (3)의 증명 과정에서 도함수 $\displaystyle h^{\prime}(x)$는 $\displaystyle 0\le x<c$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle c<x\le1$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(x)>0$이다.

즉 함수 $\displaystyle h(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,c]$에서 감소하고 닫힌구간 $\displaystyle [c,1]$에서 증가한다.

한편 $\displaystyle h(0)=0$이고 $\displaystyle h(1)=0$이므로

함수 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle 0\le x\le1$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h(x)\le0$이다. 따라서 $\displaystyle 0\le x\le1$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le g(x)$이 성립한다.