자연계열 II 2번

2-(1) $\displaystyle \lim_{x\to0+}f(x)$와 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)$의 값을 각각 구하시오. (단, $\displaystyle \lim_{x\to0+}x^{x}=1$이다.)[풀이] 양의 실수 $\displaystyle x$에 대해, $\displaystyle \frac{x}{x+6}>0$이므로 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{x}{x+6}\right)^{x}>0$이므로 함수$\displaystyle g(x)=\ln f(x)=x\ln x-x\ln(x+6)$이 잘 정의된다. $\displaystyle \lim_{x\to0+}x^{x}=1$이고 $\displaystyle x\ln x=\ln(x^{x})$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0+}x\ln x=\ln1=0$이다. 또한$\displaystyle \lim_{x\to0+}x\ln(x+6)=0\cdot\ln6=0$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{x\to0+}g(x)=\lim_{x\to0+}x\ln x-\lim_{x\to0+}x\ln(x+6)=0-0=0$이다. $\displaystyle f(x)=e^{g(x)}$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0+}f(x)=e^{0}=1$이다.

그리고$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{x+6}\right)^{x}=\lim_{x\to\infty}\left(\left(\frac{1}{1+\frac{6}{x}}\right)^{\frac{x}{6}}\right)^{6}=\frac{1}{e^{6}}=e^{-6}$이다.

2-(2) 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 감소함을 보이시오.[풀이] 함수 $\displaystyle g(x)=\ln f(x)=x\ln x-x\ln(x+6)$이 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로$\displaystyle g^{\prime}(x)=\ln x-\ln(x+6)+1-\frac{x}{x+6}=\ln\left(\frac{x}{x+6}\right)+\frac{6}{x+6}=\ln\left(1-\frac{6}{x+6}\right)+\frac{6}{x+6}$이다.

함수 $\displaystyle h(y)=\ln(1-y)+y$라 하면,$\displaystyle h^{\prime}(y)=-\frac{1}{1-y}+1=\frac{y}{y-1}$이므로 $\displaystyle 0<y<1$에서 $\displaystyle h^{\prime}(y)<0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle h(y)$는 구간 $\displaystyle [0,1)$에서 감소하고 $\displaystyle 0<y<1$에서 $\displaystyle h(y)<h(0)=\ln1+0=0$이다. $\displaystyle g^{\prime}(x)$에 $\displaystyle \frac{6}{x+6}=y$로 치환하면 모든 양의 실수 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle 0<\frac{6}{x+6}<1$이므로 $\displaystyle 0<y<1$이고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=h(y)<0$이다. $\displaystyle g(x)=\ln f(x)$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$이다. 양의 실수 $\displaystyle x$에 대해, $\displaystyle f(x)>0$이므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=f(x)g^{\prime}(x)<0$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 감소한다.

2-(3) $\displaystyle f(c)=\frac{1}{15}$을 만족시키는 양의 실수 $\displaystyle c$가 오직 하나 존재함을 보이시오.[풀이] $\displaystyle f(1)=\frac{1}{7}$, $\displaystyle f(3)=\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}$이다. 그러므로$\displaystyle f(1)=\frac{1}{7}>\frac{1}{15}>\frac{1}{27}=f(3)$을 만족한다.

함수 $\displaystyle f(x)$가 연속이므로 사잇값의 정리에 의해, $\displaystyle f(c)=\frac{1}{15}$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (1,3)$에 적어도 하나 존재한다.

문항(2)에 의해, 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 감소하므로 $\displaystyle f(c)=\frac{1}{15}$인 양의 실수 $\displaystyle c$가 오직 하나 존재한다.