자연계열 II 3번

3-(1) $\displaystyle k=1$일 때 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형의 넓이가 일정함을 보이고, 이때 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형의 둘레의 길이의 최솟값을 구하시오.[풀이] 집합 $\displaystyle A,B$가 나타내는 도형들이 모두 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이다. $\displaystyle k=1$이면 양의 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여 직선 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$이 제1사분면에서 곡선 $\displaystyle y=\frac{3}{x}$에 접할 때 주어진 조건을 만족한다.

직선 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$이 곡선 $\displaystyle y=\frac{3}{x}$의 점 $\displaystyle \left(\alpha,\frac{3}{\alpha}\right)$ ($\displaystyle \alpha>0$)에서 접한다고 하면, $\displaystyle y=\frac{3}{x}$의 도함수가 $\displaystyle y^{\prime}=-\frac{3}{x^{2}}$이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{3}{\alpha^{2}}$이고 접선의 방정식은$\displaystyle y-\frac{3}{\alpha}=\left(-\frac{3}{\alpha^{2}}\right)(x-\alpha)$이다.

이 접선과 $\displaystyle x$축과의 교점이 $\displaystyle (2\alpha,0)$이고 $\displaystyle y$축과의 교점이 $\displaystyle \left(0,\frac{6}{\alpha}\right)$이므로 $\displaystyle a=2\alpha$이고 $\displaystyle b=\frac{6}{\alpha}$이다.

집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형이 대각선의 길이가 각각 $\displaystyle 2a,2b$인 마름모이므로 구하는 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}(2a\cdot2b)=2ab=2\left(2\alpha\cdot\frac{6}{\alpha}\right)=24$이다. 그러므로 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형의 넓이가 $\displaystyle a,b$에 관계없이 일정하다.

집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형이 대각선의 길이가 각각 $\displaystyle 2a,2b$인 마름모이므로 둘레의 길이가 $\displaystyle 4\sqrt{a^{2}+b^{2}}$이다. 주어진 조건을 만족할 때 양의 실수는 $\displaystyle a,b$가 $\displaystyle ab=12$를 만족한다.

양의 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여 산술평균과 기하평균의 부등식을 활용하면$\displaystyle a^{2}+b^{2}\ge2\sqrt{a^{2}b^{2}}=2ab=2\cdot12=24$이므로 구하는 둘레의 길이 $\displaystyle 4\sqrt{a^{2}+b^{2}}$의 최솟값은 $\displaystyle 4\sqrt{24}=8\sqrt{6}$이다.

3-(2) 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형의 넓이를 집합 $\displaystyle A\cap B$의 원소들을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이로 나눈 값을 $\displaystyle h_{k}$라 할 때, $\displaystyle h_{k}$가 양수 $\displaystyle a,b$와 관계없이 일정함을 보이시오.[풀이] 집합 $\displaystyle A,B$가 나타내는 도형들이 모두 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이다. 자연수 $\displaystyle k$와 양수 $\displaystyle a,b$에 대하여 직선 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$이 제1사분면에서 곡선 $\displaystyle y=\frac{3}{x^{k}}$에 접할 때 주어진 조건을 만족한다.

직선 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$이 곡선 $\displaystyle y=\frac{3}{x^{k}}$의 점 $\displaystyle \left(\alpha,\frac{3}{\alpha^{k}}\right)$ ($\displaystyle \alpha>0$)에서 접한다고 하면, $\displaystyle y=\frac{3}{x^{k}}$의 도함수가 $\displaystyle y^{\prime}=-\frac{3k}{x^{k+1}}$이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{3k}{\alpha^{k+1}}$이고 접선의 방정식은$\displaystyle y-\frac{3}{\alpha^{k}}=\left(-\frac{3k}{\alpha^{k+1}}\right)(x-\alpha)$이다.

이 접선과 $\displaystyle x$축과의 교점이 $\displaystyle \left(\frac{k+1}{k}\alpha,0\right)$이고 $\displaystyle y$축과의 교점이 $\displaystyle \left(0,\frac{3(k+1)}{\alpha^{k}}\right)$이므로 $\displaystyle a=\frac{k+1}{k}\alpha$이고 $\displaystyle b=\frac{3(k+1)}{\alpha^{k}}$이다.

집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형이 대각선의 길이가 각각 $\displaystyle 2a,2b$인 마름모이므로 구하는 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}(2a\cdot2b)=2ab=2\left(\left(\frac{k+1}{k}\alpha\right)\cdot\frac{3(k+1)}{\alpha^{k}}\right)=6\frac{(k+1)^{2}}{k\alpha^{k-1}}$이다.

집합 $\displaystyle A,B$가 나타내는 도형들이 모두 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이므로$\displaystyle \left(\alpha,\frac{3}{\alpha^{k}}\right),\left(-\alpha,\frac{3}{\alpha^{k}}\right),\left(\alpha,-\frac{3}{\alpha^{k}}\right),\left(-\alpha,-\frac{3}{\alpha^{k}}\right)$가 집합 $\displaystyle A\cap B$의 네 개의 원소가 된다. 이들을 꼭짓점으로 하는 사각형이 직사각형이므로 이 직사각형의 넓이가$\displaystyle 4\left(\alpha\cdot\frac{3}{\alpha^{k}}\right)=\frac{12}{\alpha^{k-1}}$이다.

따라서$\displaystyle h_{k}=\left(6\frac{(k+1)^{2}}{k\alpha^{k-1}}\right)\cdot\left(\frac{12}{\alpha^{k-1}}\right)^{-1}=\frac{(k+1)^{2}}{2k}$이므로 양수 $\displaystyle a,b$와 관계없이 일정하다.

3-(3) 문항(2)의 $\displaystyle h_{k}$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k+1}{k^{3}h_{k}}$의 값을 구하시오.[풀이] 문항(2)의 결과에 따라$\displaystyle h_{k}=\frac{(k+1)^{2}}{2k}$이다. 그러므로 구하는 값은$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k+1}{k^{3}h_{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2(2k+1)}{k^{2}(k+1)^{2}}=2\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k^{2}}-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right)$

$\displaystyle =2\left(1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)=2$이다.