자연계열 II 1번

1-(1) $\displaystyle \int_{2}^{6}f(x)\cos\frac{\pi x}{4}\,dx$의 값을 구하시오.[풀이] 부분적분법을 활용하여$\displaystyle \int_{2}^{6}f(x)\cos\frac{\pi x}{4}\,dx=\frac{4}{\pi}\Biggl[f(x)\sin\frac{\pi x}{4}\Biggr]_{2}^{6}-\frac{4}{\pi}\int_{2}^{6}f^{\prime}(x)\sin\frac{\pi x}{4}\,dx$이다. 조건(나)에서 $\displaystyle f(6)=-f(2)$이므로$\displaystyle \Biggl[f(x)\sin\frac{\pi x}{4}\Biggr]_{2}^{6}=f(6)\sin\frac{3\pi}{2}-f(2)\sin\frac{\pi}{2}=-f(6)-f(2)=0$이다. 부분적분법을 적용하면$\displaystyle \int_{2}^{6}f(x)\cos\frac{\pi x}{4}\,dx=-\frac{4}{\pi}\int_{2}^{6}f^{\prime}(x)\sin\frac{\pi x}{4}\,dx=-\frac{4}{\pi}\left(-\frac{4}{\pi}\Biggl[f^{\prime}(x)\cos\frac{\pi x}{4}\Biggr]_{2}^{6}+\frac{4}{\pi}\int_{2}^{6}f^{\prime\prime}(x)\cos\frac{\pi x}{4}\,dx\right)$이다.

한편 $\displaystyle \cos\frac{\pi}{2}=0$, $\displaystyle \cos\frac{3\pi}{2}=0$이고 조건(가)에 의하여$\displaystyle \int_{2}^{6}f(x)\cos\frac{\pi x}{4}\,dx=-\frac{4}{\pi}\left(-\frac{4}{\pi}\left(f^{\prime}(6)\cos\frac{3\pi}{2}-f^{\prime}(2)\cos\frac{\pi}{2}\right)+\frac{4}{\pi}\cdot\left(-\frac{\pi^{2}}{16}\right)\right)=1$이다.

1-(2) $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{1}{m^{2}}\sum_{n=1}^{m}a_{n}$의 값을 구하시오.[풀이] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle g(x)$를 $\displaystyle g(x)=f(x)\cos\frac{\pi x}{4}$라 하면, $\displaystyle x\ge2$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해$\displaystyle g(x+4)=f(x+4)\cdot\cos\left(\pi+\frac{\pi x}{4}\right)=(-f(x))\cdot\left(-\cos\frac{\pi x}{4}\right)=g(x)$ …… ㉠이다.

문항(1)에 의하여$\displaystyle a_{1}=\int_{0}^{6}g(x)\,dx=\int_{0}^{2}g(x)\,dx+\int_{2}^{6}g(x)\,dx=\int_{0}^{2}g(x)\,dx+1$이고 정적분의 성질에 의해서 자연수 $\displaystyle n$에 대해$\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=\int_{0}^{4n+6}g(x)\,dx-\int_{0}^{4n+2}g(x)\,dx=\int_{4n+2}^{4n+6}g(x)\,dx$이므로 $\displaystyle x=y+4n$이라 놓으면 ㉠, 문항(1)에 의하여$\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=\int_{2}^{6}g(y+4n)\,dy=\int_{2}^{6}g(y)\,dy=\int_{2}^{6}f(y)\cos\frac{\pi y}{4}\,dy=1$이다.따라서 $\displaystyle a_{n}$은 첫째항이 $\displaystyle \int_{0}^{2}g(x)\,dx+1$, 공차가 $\displaystyle 1$인 등차수열이다. 그러므로 등차수열의 일반항 $\displaystyle a_{n}$은$\displaystyle a_{n}=\left(\int_{0}^{2}g(x)\,dx+1\right)+(n-1)\cdot1=n+\int_{0}^{2}g(x)\,dx$ …… ㉡이다.

따라서$\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{1}{m^{2}}\sum_{n=1}^{m}a_{n}=\lim_{m\to\infty}\frac{1}{m^{2}}\sum_{n=1}^{m}\left(n+\int_{0}^{2}g(x)\,dx\right)=\lim_{m\to\infty}\left(\frac{1}{m^{2}}\sum_{n=1}^{m}n+\frac{1}{m^{2}}\left(\int_{0}^{2}g(x)\,dx\right)\cdot\sum_{n=1}^{m}1\right)$이다. 한편, 자연수의 거듭제곱의 합에 의하여 자연수 $\displaystyle m$에 대해 $\displaystyle \sum_{n=1}^{m}n=\frac{m(m+1)}{2}$, $\displaystyle \sum_{n=1}^{m}1=m$이다.

이를 위 식에 대입하면 수열의 극한에 대한 기본 성질에 의해서$\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{1}{m^{2}}\sum_{n=1}^{m}a_{n}=\lim_{m\to\infty}\left(\frac{m(m+1)}{2m^{2}}+\frac{1}{m}\int_{0}^{2}g(x)\,dx\right)=\lim_{m\to\infty}\frac{m(m+1)}{2m^{2}}+\lim_{m\to\infty}\frac{1}{m}\int_{0}^{2}g(x)\,dx=\frac{1}{2}$이다.

1-(3) 다음 부등식이 성립함을 증명하시오.$\displaystyle a_{1}^{2}+\cdots+a_{2026}^{2}\ge\frac{2025\times2026\times2027}{12}$[풀이] 식 ㉡에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}a_{1}^{2}+\cdots+a_{2026}^{2}&=\sum_{n=1}^{2026}\left(n+\int_{0}^{2}g(x)\,dx\right)^{2}\\&=\sum_{n=1}^{2026}n^{2}+2\left(\int_{0}^{2}g(x)\,dx\right)\cdot\sum_{n=1}^{2026}n+\left(\int_{0}^{2}g(x)\,dx\right)^{2}\cdot\sum_{n=1}^{2026}1\end{aligned}$ …… ㉢이다. 자연수의 거듭제곱의 합에 의하여 자연수 $\displaystyle m$에 대해 $\displaystyle \sum_{n=1}^{m}n^{2}=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$이므로,$\displaystyle \sum_{n=1}^{2026}n^{2}=\frac{2026\times2027\times4053}{6},\quad\sum_{n=1}^{2026}n=\frac{2026\times2027}{2},\quad\sum_{n=1}^{2026}1=2026$ …… ㉣이다.

$\displaystyle t=\int_{0}^{2}g(x)\,dx$라 하면 ㉢, ㉣에 의하여$\displaystyle a_{1}^{2}+\cdots+a_{2026}^{2}=2026\left(t^{2}+2027t+\frac{2027\times4053}{6}\right)$ …… ㉤이다.

한편,$\displaystyle 2026\left(t^{2}+2027t+\frac{2027\times4053}{6}\right)=2026\left(\left(t+\frac{2027}{2}\right)^{2}+\frac{2025\times2027}{12}\right)\ge\frac{2025\times2026\times2027}{12}$ …… ㉥이다. ㉤, ㉥에 의하여$\displaystyle a_{1}^{2}+\cdots+a_{2026}^{2}\ge\frac{2025\times2026\times2027}{12}$이 성립한다.

한편, 문항(3)의 부등식에서 등호가 성립하면 ㉤과 ㉥에 의하여 $\displaystyle t=\int_{0}^{2}g(x)\,dx=-\frac{2027}{2}$이다.

따라서 ㉡에 의하여 등차수열 $\displaystyle a_{n}$은$\displaystyle a_{n}=n+\int_{0}^{2}g(x)\,dx=n-\frac{2027}{2}$이고

$\displaystyle 1\le n\le2026$인 자연수 $\displaystyle n$에 대해서$\displaystyle a_{n}+a_{2027-n}=\left(n-\frac{2027}{2}\right)+\left(2027-n-\frac{2027}{2}\right)=0$이므로 $\displaystyle a_{n}=-a_{2027-n}$이 성립한다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}&\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{1}^{2}a_{2}^{2}}+\frac{a_{3}+a_{4}}{a_{3}^{2}a_{4}^{2}}+\cdots+\frac{a_{2025}+a_{2026}}{a_{2025}^{2}a_{2026}^{2}}\\&=\left(\frac{1}{a_{1}^{2}}-\frac{1}{a_{2026}^{2}}\right)+\left(-\frac{1}{a_{2}^{2}}+\frac{1}{a_{2025}^{2}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{a_{1013}^{2}}-\frac{1}{a_{1014}^{2}}\right)=0\end{aligned}$이다.