자연계열 I 2번

이화여대 2026학년도 수시 자연계열 I 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/ewha/2026su/jayeon1_2

[문항 2] 두 다항식 $\displaystyle P(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$ 와 $\displaystyle Q(x)=(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle m<n$

(나) $\displaystyle a_{0},a_{1},\cdots,a_{m},b_{1},\cdots,b_{n}$ 은 상수이다.

(다) $\displaystyle a_{m}\ne0$

(라) $\displaystyle b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{n}$

다음 등식 $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{c_{1}}{x-b_{1}}+\frac{c_{2}}{x-b_{2}}+\cdots+\frac{c_{n}}{x-b_{n}}$ ( $\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}$ 은 상수)가 성립할 때, 아래의 물음에 답하시오. [30점]

(1) $\displaystyle x\ne b_{k}$ ( $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$ )일 때, $\displaystyle \frac{Q^{\prime}(x)}{Q(x)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-b_{k}}$ 이 성립함을 보이시오.

(2) $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$ 에 대하여 $\displaystyle Q^{\prime}(b_{k})\ne0$ 과 $\displaystyle c_{k}=\frac{P(b_{k})}{Q^{\prime}(b_{k})}$ 가 성립함을 보이시오.

(3) $\displaystyle c_{1}+\cdots+c_{n}=\begin{cases}0&(m<n-1)\\a_{m}&(m=n-1)\end{cases}$ 이 성립함을 보이시오.

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+5점 · 다항식

\displaystyle Q(x)=(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})

에 로그함수를 적용하여

\displaystyle \ln|Q(x)|=\ln|x-b_{1}|+\ln|x-b_{2}|+\cdots+\ln|x-b_{n}|

을 유도

2-(1) $\displaystyle x\ne b_{k}$ ( $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$ )일 때, $\displaystyle \frac{Q^{\prime}(x)}{Q(x)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-b_{k}}$ 이 성립함을 보이시오.[풀이]다항식 $\displaystyle Q(x)=(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})$ 에 대하여 $\displaystyle \ln|Q(x)|=\ln|(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})|=\ln|x-b_{1}|+\ln|x-b_{2}|+\cdots+\ln|x-b_{n}|$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \ln|Q(x)|=\ln|x-b_{1}|+\ln|x-b_{2}|+\cdots+\ln|x-b_{n}|

을

\displaystyle x

에 대하여 미분하여

\displaystyle \frac{Q^{\prime}(x)}{Q(x)}=\frac{1}{x-b_{1}}+\cdots+\frac{1}{x-b_{n}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-b_{k}}

을 얻음

양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{Q^{\prime}(x)}{Q(x)}=\frac{1}{x-b_{1}}+\cdots+\frac{1}{x-b_{n}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-b_{k}}$ 이 성립한다.

2-(2) $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$ 에 대하여 $\displaystyle Q^{\prime}(b_{k})\ne0$ 과 $\displaystyle c_{k}=\frac{P(b_{k})}{Q^{\prime}(b_{k})}$ 가 성립함을 보이시오.[풀이]다항식 $\displaystyle Q(x)$ 의 도함수 $\displaystyle Q^{\prime}(x)$ 는 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}Q^{\prime}(x)&=(x-b_{2})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+(x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+\cdots\\&\quad+(x-b_{1})\cdots(x-b_{k-1})(x-b_{k+1})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+\cdots\\&\quad+(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n-1})\end{aligned}$

+2점 ·

\displaystyle Q^{\prime}(b_{k})=(b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})

을 유도

$\displaystyle Q^{\prime}(x)$ 에서 $\displaystyle (x-b_{k})$ 를 인수로 포함하지 않는 항은 $\displaystyle (x-b_{1})\cdots(x-b_{k-1})(x-b_{k+1})\cdots(x-b_{n})$ 이고 그 이외의 항들은 $\displaystyle (x-b_{k})$ 를 인수로 포함하고 있다.따라서 $\displaystyle Q^{\prime}(x)$ 에서 $\displaystyle x=b_{k}$ 를 대입하면 $\displaystyle (x-b_{k})$ 를 인수로 포함하고 있는 항들은 모두 $\displaystyle 0$ 이 되고 $\displaystyle (x-b_{k})$ 를 인수로 포함하지 않은 항 $\displaystyle (x-b_{1})\cdots(x-b_{k-1})(x-b_{k+1})\cdots(x-b_{n})$ 은 $\displaystyle (b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})$ 이 된다.

+2점 · (라)조건에 의하여

\displaystyle Q^{\prime}(b_{k})\ne0

여기에서 조건 (라)에 의하여 $\displaystyle i\ne k$ 이면 $\displaystyle b_{k}-b_{i}\ne0$ 이므로 $\displaystyle Q^{\prime}(b_{k})=(b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})\ne0$ 이 성립한다.

+2점 ·

\displaystyle P(b_{k})=c_{k}(b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})

을 유도

+2점 ·

\displaystyle (b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})=Q^{\prime}(b_{k})

을 확인

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{c_{1}}{x-b_{1}}+\frac{c_{2}}{x-b_{2}}+\cdots+\frac{c_{n}}{x-b_{n}}$ 이고 $\displaystyle Q(x)=(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}P(x)&=\left(\frac{c_{1}}{x-b_{1}}+\frac{c_{2}}{x-b_{2}}+\cdots+\frac{c_{n}}{x-b_{n}}\right)\cdot Q(x)\\&=\left(\frac{c_{1}}{x-b_{1}}+\frac{c_{2}}{x-b_{2}}+\cdots+\frac{c_{n}}{x-b_{n}}\right)\cdot(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})\\&=c_{1}(x-b_{2})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+c_{2}(x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+\cdots\\&\quad+c_{k}(x-b_{1})\cdots(x-b_{k-1})(x-b_{k+1})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+\cdots\\&\quad+c_{n}(x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})\end{aligned}$ 이고 $\displaystyle P(x)$ 의 항들 중에서 $\displaystyle (x-b_{k})$ 를 인수로 포함하지 않은 항은 $\displaystyle c_{k}(x-b_{1})\cdots(x-b_{k-1})(x-b_{k+1})\cdots(x-b_{n})$ 이고 그 이외의 항들은 $\displaystyle (x-b_{k})$ 를 인수로 포함하므로 $\displaystyle P(b_{k})=c_{k}(b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})=c_{k}\cdot Q^{\prime}(b_{k})$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle Q^{\prime}(b_{k})\ne0

이므로

\displaystyle c_{k}=\frac{P(b_{k})}{Q^{\prime}(b_{k})}

가 성립함을 확인

$\displaystyle Q^{\prime}(b_{k})=(b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})\ne0$ 이므로 $\displaystyle c_{k}=\frac{P(b_{k})}{Q^{\prime}(b_{k})}$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle \begin{aligned}P(x)&=c_{1}(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+c_{2}(x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+\cdots\\&\quad+c_{n}(x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})\end{aligned}

을 유도

2-(3) $\displaystyle c_{1}+\cdots+c_{n}=\begin{cases}0&(m<n-1)\\a_{m}&(m=n-1)\end{cases}$ 이 성립함을 보이시오.[풀이]다음 분수식을 통분하면 $\displaystyle \begin{aligned}&\frac{c_{1}}{x-b_{1}}+\frac{c_{2}}{x-b_{2}}+\cdots+\frac{c_{n}}{x-b_{n}}\\&=\frac{c_{1}(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})+c_{2}(x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})+\cdots+c_{n}(x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})}{(x-b_{1})\cdots(x-b_{n})}\end{aligned}$ 이고 $\displaystyle Q(x)=(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})$ 이므로 $\displaystyle P(x)=c_{1}(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})+c_{2}(x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})+\cdots+c_{n}(x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})$ 이다.

+2점 · 위의 식을 정리하면

\displaystyle P(x)

가

\displaystyle (n-1)

차 방정식이어서

\displaystyle P(x)=(c_{1}+\cdots+c_{n})x^{n-1}+

나머지 항 으로 표현됨

Caution. 다항식의 차수를 판단할 때는 계수가 0이 되어 항이 사라지는 경우에 주의해야 한다: 채점기준에서는 $\displaystyle P(x)$ 를 $\displaystyle n-1$ 차로 단정했지만, $\displaystyle x^{n-1}$ 의 계수는 $\displaystyle c_1+\cdots+c_n$ 이다. 이 합이 $\displaystyle 0$ 이면 $\displaystyle P(x)$ 의 차수는 $\displaystyle n-1$ 보다 낮아진다. 예시답안에서는 이 경우를 올바르게 나누어 다루고 있다. 또한 $\displaystyle R(x)$ 의 모든 계수가 $\displaystyle 0$ 일 수 있으므로, $\displaystyle R(x)$ 는 영다항식이거나 차수가 $\displaystyle n-1$ 보다 낮은 다항식이라고 해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

또한 $\displaystyle (x-b_{2})\cdots(x-b_{n})$ , $\displaystyle (x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle (x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})$ 은 모두 $\displaystyle (n-1)$ 차 다항식이므로 $\displaystyle \begin{aligned}P(x)&=c_{1}(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})+c_{2}(x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})+\cdots+c_{n}(x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})\\&=(c_{1}+\cdots+c_{n})x^{n-1}+R(x)\end{aligned}$ 이다. 이때 $\displaystyle R(x)$ 는 최고차항의 차수가 $\displaystyle (n-1)$ 보다 낮은 다항식이다.

+2점 ·

\displaystyle P(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}

으로 주어졌으므로

\displaystyle a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}=(c_{1}+\cdots+c_{n})x^{n-1}+R(x)

따라서 $\displaystyle a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}=(c_{1}+\cdots+c_{n})x^{n-1}+R(x)$

+3점 · 위의 등식으로부터

\displaystyle c_{1}+\cdots+c_{n}=\begin{cases}0&(m<n-1)\\a_{m}&(m=n-1)\end{cases}

이므로 $\displaystyle m=n-1$ 일 때에는 $\displaystyle a_{m}=c_{1}+\cdots+c_{n}$ 이고 $\displaystyle m<n-1$ 일 때에는 $\displaystyle c_{1}+\cdots+c_{n}=0$ 이다.

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