자연계열 I 2번

2-(1) $\displaystyle x\ne b_{k}$ ($\displaystyle k=1,2,\cdots,n$)일 때, $\displaystyle \frac{Q^{\prime}(x)}{Q(x)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-b_{k}}$이 성립함을 보이시오.[풀이]다항식 $\displaystyle Q(x)=(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})$에 대하여$\displaystyle \ln|Q(x)|=\ln|(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})|=\ln|x-b_{1}|+\ln|x-b_{2}|+\cdots+\ln|x-b_{n}|$이다.

양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{Q^{\prime}(x)}{Q(x)}=\frac{1}{x-b_{1}}+\cdots+\frac{1}{x-b_{n}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-b_{k}}$이 성립한다.

$\displaystyle Q^{\prime}(x)$에서 $\displaystyle (x-b_{k})$를 인수로 포함하지 않는 항은 $\displaystyle (x-b_{1})\cdots(x-b_{k-1})(x-b_{k+1})\cdots(x-b_{n})$이고 그 이외의 항들은 $\displaystyle (x-b_{k})$를 인수로 포함하고 있다.따라서 $\displaystyle Q^{\prime}(x)$에서 $\displaystyle x=b_{k}$를 대입하면 $\displaystyle (x-b_{k})$를 인수로 포함하고 있는 항들은 모두 $\displaystyle 0$이 되고 $\displaystyle (x-b_{k})$를 인수로 포함하지 않은 항 $\displaystyle (x-b_{1})\cdots(x-b_{k-1})(x-b_{k+1})\cdots(x-b_{n})$은 $\displaystyle (b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})$이 된다.

여기에서 조건 (라)에 의하여 $\displaystyle i\ne k$이면 $\displaystyle b_{k}-b_{i}\ne0$이므로 $\displaystyle Q^{\prime}(b_{k})=(b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})\ne0$이 성립한다.

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{c_{1}}{x-b_{1}}+\frac{c_{2}}{x-b_{2}}+\cdots+\frac{c_{n}}{x-b_{n}}$이고 $\displaystyle Q(x)=(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})$이므로$\displaystyle \begin{aligned}P(x)&=\left(\frac{c_{1}}{x-b_{1}}+\frac{c_{2}}{x-b_{2}}+\cdots+\frac{c_{n}}{x-b_{n}}\right)\cdot Q(x)\\&=\left(\frac{c_{1}}{x-b_{1}}+\frac{c_{2}}{x-b_{2}}+\cdots+\frac{c_{n}}{x-b_{n}}\right)\cdot(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})\\&=c_{1}(x-b_{2})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+c_{2}(x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+\cdots\\&\quad+c_{k}(x-b_{1})\cdots(x-b_{k-1})(x-b_{k+1})\cdots(x-b_{n})\\&\quad+\cdots\\&\quad+c_{n}(x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})\end{aligned}$이고 $\displaystyle P(x)$의 항들 중에서 $\displaystyle (x-b_{k})$를 인수로 포함하지 않은 항은 $\displaystyle c_{k}(x-b_{1})\cdots(x-b_{k-1})(x-b_{k+1})\cdots(x-b_{n})$이고 그 이외의 항들은 $\displaystyle (x-b_{k})$를 인수로 포함하므로$\displaystyle P(b_{k})=c_{k}(b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})=c_{k}\cdot Q^{\prime}(b_{k})$이다.

$\displaystyle Q^{\prime}(b_{k})=(b_{k}-b_{1})\cdots(b_{k}-b_{k-1})(b_{k}-b_{k+1})\cdots(b_{k}-b_{n})\ne0$이므로 $\displaystyle c_{k}=\frac{P(b_{k})}{Q^{\prime}(b_{k})}$이다.

2-(3) $\displaystyle c_{1}+\cdots+c_{n}=\begin{cases}0&(m<n-1)\\a_{m}&(m=n-1)\end{cases}$이 성립함을 보이시오.[풀이]다음 분수식을 통분하면$\displaystyle \begin{aligned}&\frac{c_{1}}{x-b_{1}}+\frac{c_{2}}{x-b_{2}}+\cdots+\frac{c_{n}}{x-b_{n}}\\&=\frac{c_{1}(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})+c_{2}(x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})+\cdots+c_{n}(x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})}{(x-b_{1})\cdots(x-b_{n})}\end{aligned}$이고 $\displaystyle Q(x)=(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})$이므로$\displaystyle P(x)=c_{1}(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})+c_{2}(x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})+\cdots+c_{n}(x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})$이다.

또한 $\displaystyle (x-b_{2})\cdots(x-b_{n})$, $\displaystyle (x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle (x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})$은 모두 $\displaystyle (n-1)$차 다항식이므로$\displaystyle \begin{aligned}P(x)&=c_{1}(x-b_{2})\cdots(x-b_{n})+c_{2}(x-b_{1})(x-b_{3})\cdots(x-b_{n})+\cdots+c_{n}(x-b_{1})\cdots(x-b_{n-1})\\&=(c_{1}+\cdots+c_{n})x^{n-1}+R(x)\end{aligned}$이다. 이때 $\displaystyle R(x)$는 최고차항의 차수가 $\displaystyle (n-1)$보다 낮은 다항식이다.Comment. $\displaystyle R(x)$는 영다항식이거나 차수가 $\displaystyle n-1$보다 낮은 다항식이다.

따라서$\displaystyle a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}=(c_{1}+\cdots+c_{n})x^{n-1}+R(x)$

이므로 $\displaystyle m=n-1$일 때에는 $\displaystyle a_{m}=c_{1}+\cdots+c_{n}$이고 $\displaystyle m<n-1$일 때에는 $\displaystyle c_{1}+\cdots+c_{n}=0$이다.