자연계열 I 3번

3-(1) $\displaystyle -1<x<2$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 함수 $\displaystyle H(x)$가 연속임을 보이시오.[풀이]닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 정의된 연속함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 적분과 미분의 관계에 의해 다음을 알 수 있다.$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)\quad(a<x<b)$

$\displaystyle -1<x<2$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle F(x)=\int_{-1}^{x}f(t)\,dt$라 하면, 위 성질로부터 함수 $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle -1<x<2$에서 미분가능하고, 따라서 연속이다.

정적분의 성질에 의해 함수 $\displaystyle H(x)$는 다음과 같이 쓸 수 있다.$\displaystyle H(x)=2\left(F(x)-\int_{-1}^{0}f(t)\,dt\right)-\int_{0}^{1}f(t)\,dt=2F(x)-2\int_{-1}^{0}f(t)\,dt-\int_{0}^{1}f(t)\,dt$ …… ①함수 $\displaystyle F(x)$가 열린구간 $\displaystyle (-1,2)$에서 연속이고 연속함수의 성질에 의해 함수 $\displaystyle H(x)$도 그 구간에서 연속이다.

3-(2) 다음 등식이 성립함을 보이시오.$\displaystyle \int_{0}^{1}H(x)\,dx=\int_{0}^{1}(1-2x)f(x)\,dx$[풀이] 상수 $\displaystyle A=-2\int_{-1}^{0}f(t)\,dt-\int_{0}^{1}f(t)\,dt=-2\int_{-1}^{1}f(t)\,dt+\int_{0}^{1}f(t)\,dt$라 하자. ①로부터 $\displaystyle H(x)=2F(x)+A$임을 알 수 있고, $\displaystyle \frac{d}{dx}x=1$이므로

부분적분법을 이용하면 다음을 보일 수 있다.$\displaystyle \int_{0}^{1}H(x)\,dx=\int_{0}^{1}\left(1\cdot(2F(x)+A)\right)dx=2F(1)+A-2\int_{0}^{1}xF^{\prime}(x)\,dx$

이때, $\displaystyle 2F(1)+A=H(1)=\int_{0}^{1}f(x)\,dx$이고 $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$이므로 다음 등식이 성립한다.$\displaystyle \int_{0}^{1}H(x)\,dx=\int_{0}^{1}(1-2x)f(x)\,dx$

3-(3) $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=2\int_{0}^{1}xf(x)\,dx$일 때, 다음 등식을 만족시키는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 적어도 하나 존재함을 보이시오.$\displaystyle \int_{0}^{c}f(x)\,dx=\int_{c}^{1}f(x)\,dx$[풀이]주어진 조건과 문항 (2)의 결과로부터 $\displaystyle \int_{0}^{1}H(x)\,dx=0$임을 알 수 있다.

함수 $\displaystyle G(x)$를 닫힌구간 $\displaystyle [-1,2]$에서 다음과 같이 정의하자.$\displaystyle G(x)=\int_{-1}^{x}H(t)\,dt$그러면 함수 $\displaystyle G(x)$는 열린구간 $\displaystyle (-1,2)$에서 미분가능하고, 따라서 그 구간에서 연속이다. 또한, $\displaystyle -1<x<2$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle G^{\prime}(x)=H(x)$를 만족한다. 이때, $\displaystyle \int_{0}^{1}H(x)\,dx=0$이므로$\displaystyle G(0)=\int_{-1}^{0}H(t)\,dt,\quad G(1)=\int_{-1}^{1}H(t)\,dt=\int_{-1}^{0}H(t)\,dt+\int_{0}^{1}H(t)\,dt=\int_{-1}^{0}H(t)\,dt$이다. 따라서 $\displaystyle G(0)=G(1)$이다.

함수 $\displaystyle G(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이고, 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 미분가능하므로 롤의 정리에 의해 $\displaystyle G^{\prime}(c)=0$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 적어도 하나 존재한다.

$\displaystyle H(c)=G^{\prime}(c)=0$이므로 함수 $\displaystyle H(x)$의 정의에 의해 다음 등식이 성립한다.$\displaystyle \int_{0}^{c}f(x)\,dx=\int_{c}^{1}f(x)\,dx$

3-(4) $\displaystyle -1<x<2$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow H(x)=0$임을 보이시오.[풀이]$\displaystyle -1<x<2$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=0$이면 $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)\,dt-\int_{x}^{1}f(t)\,dt=0$이므로, $\displaystyle -1<x<2$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle H(x)=0$이다.

역으로, $\displaystyle -1<x<2$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle H(x)=0$이면 $\displaystyle H(x)=2F(x)+A$이므로 $\displaystyle F(x)=-\frac{A}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle -1<x<2$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=F^{\prime}(x)=0$이다.