자연계열 I 1번

(1) $\displaystyle 1<x<y$인 실수 $\displaystyle x,y$에 대하여 부등식 $\displaystyle x\ln x<y\ln y$가 성립함을 보이시오.풀이: $\displaystyle x>0$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle f(x)=x\ln x$라 하면, 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+\ln x$이다. 로그함수 $\displaystyle \ln x$가 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 $\displaystyle \ln x>0$을 만족하므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+\ln x>1>0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 증가한다. 그러므로 $\displaystyle 1<x<y$인 실수 $\displaystyle x,y$에 대하여 $\displaystyle f(y)>f(x)$가 성립한다. 즉 $\displaystyle x\ln x<y\ln y$가 성립한다.

(2) 방정식 $\displaystyle x\ln x-\pi=0$이 열린구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 오직 하나의 실근을 가짐을 보이시오.풀이: 함수 $\displaystyle f(x)=x\ln x$에 대하여 $\displaystyle x>0$인 실수 $\displaystyle x$에서$\displaystyle f^{\prime}(x)=1+\ln x=0$을 만족시키는 경우는 $\displaystyle x=\frac{1}{e}$뿐이다. 로그함수 $\displaystyle \ln x$가 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가하므로 구간 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{e}\right)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+\ln x<0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)=x\ln x$는 구간 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{e}\right)$에서 감소한다. 한편 구간 $\displaystyle \left(\frac{1}{e},\infty\right)$에서는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+\ln x>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)=x\ln x$는 구간 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{e}\right)$에서 증가한다.Correction. 대학 예시답안의 증가 구간 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{e}\right)$은 $\displaystyle \left(\frac{1}{e},\infty\right)$여야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(i) $\displaystyle 0<x<\frac{1}{e}$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \ln x<\ln\frac{1}{e}=-1$이고 $\displaystyle 0<x$이므로$\displaystyle f(x)=x\ln x<-x<0$이다. 따라서 구간 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{e}\right)$에서는 방정식 $\displaystyle x\ln x=\pi$의 근이 없다.

(ii) $\displaystyle \frac{1}{e}<x$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}<\pi$이고 $\displaystyle f(e^{2})=e^{2}\ln e^{2}=2e^{2}>\pi$이므로 사잇값의 정리에 의해서$\displaystyle f\left(\frac{1}{e}\right)<f(z)=z\ln z=\pi<f(e^{2})$인 $\displaystyle z$가 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{1}{e},e^{2}\right)$에 존재한다. 그리고 함수 $\displaystyle f(x)=x\ln x$가 구간 $\displaystyle \left(\frac{1}{e},\infty\right)$에서 증가하므로 이 구간에서 $\displaystyle f(x)=x\ln x=\pi$를 만족시키는 $\displaystyle x$는 유일하다.결론적으로 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 방정식 $\displaystyle x\ln x-\pi=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$는 유일하다.

(3) $\displaystyle 0<x<y$인 실수 $\displaystyle x,y$에 대하여 부등식 $\displaystyle \ln x\le\frac{y\ln y-x\ln x}{y-x}$가 성립함을 보이시오.풀이: 평균값 정리에 의해서 $\displaystyle 0<x<y$인 실수 $\displaystyle x,y$에 대하여$\displaystyle f^{\prime}(a)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{y\ln y-x\ln x}{y-x}$인 $\displaystyle a$가 구간 $\displaystyle (x,y)$에 존재한다. $\displaystyle f^{\prime}(a)=1+\ln a$이고 로그함수 $\displaystyle \ln x$가 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가하므로$\displaystyle \ln x<\ln a<1+\ln a=\frac{y\ln y-x\ln x}{y-x}$이다.

(4) $\displaystyle 0<x<y$인 실수 $\displaystyle x,y$에 대하여 부등식 $\displaystyle \frac{x+y}{2}\ln\frac{x+y}{2}\le\frac{x\ln x+y\ln y}{2}$가 성립함을 보이시오.풀이: $\displaystyle x>0$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \ln x$가 증가함수이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+\ln x$도 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가한다. 즉 $\displaystyle 0<x<y$인 실수 $\displaystyle x,y$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)<f^{\prime}(y)$이다.

한편 $\displaystyle 0<x<y$인 실수 $\displaystyle x,y$에 대하여 $\displaystyle z=\frac{x+y}{2}$라 하면, $\displaystyle x<z<y$이다. 평균값 정리에 의해서$\displaystyle f^{\prime}(v)=\frac{f(z)-f(x)}{z-x},\qquad f^{\prime}(w)=\frac{f(y)-f(z)}{y-z}$인 $\displaystyle v$와 $\displaystyle w$가 각각 구간 $\displaystyle (x,z)$와 $\displaystyle (z,y)$에 존재한다. 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가하고 $\displaystyle v<z<w$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(v)<f^{\prime}(w)$이다. 따라서$\displaystyle \frac{f(z)-f(x)}{z-x}=f^{\prime}(v)<f^{\prime}(w)=\frac{f(y)-f(z)}{y-z}$이다. $\displaystyle z-x=\frac{y-x}{2}=y-z>0$이므로 $\displaystyle f(z)-f(x)<f(y)-f(z)$이다. 즉$\displaystyle \frac{x+y}{2}\ln\frac{x+y}{2}=z\ln z=f(z)<\frac{f(x)+f(y)}{2}=\frac{x\ln x+y\ln y}{2}$이다.