자연계열 II 3번

(1) 주어진 $\displaystyle c>0$에 대하여 $\displaystyle k=1$일 때 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형의 넓이가 $\displaystyle a,b$에 관계없이 일정함을 보이고, 이때 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형의 둘레의 길이의 최솟값을 구하시오.풀이: 집합 $\displaystyle A,B$가 나타내는 도형들이 모두 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle k=1$일 때 양의 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여 직선 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$이 제1사분면에서 곡선 $\displaystyle y=\frac{c}{x}$에 접할 때 주어진 조건 $\displaystyle n(A\cap B)=4$를 만족한다.

곡선 $\displaystyle y=\frac{c}{x}$의 점 $\displaystyle \left(\alpha,\frac{c}{\alpha}\right)$ $\displaystyle (\alpha>0)$에서 직선 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$이 접한다고 하면, $\displaystyle y=\frac{c}{x}$의 도함수가 $\displaystyle y^{\prime}=-\frac{c}{x^{2}}$이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{c}{\alpha^{2}}$이고 접선의 방정식은$\displaystyle y-\frac{c}{\alpha}=\left(-\frac{c}{\alpha^{2}}\right)(x-\alpha)$이다. 이 접선과 $\displaystyle x$축과의 교점이 $\displaystyle (2\alpha,0)$이고 $\displaystyle y$축과의 교점이 $\displaystyle \left(0,\frac{2c}{\alpha}\right)$이므로 $\displaystyle a=2\alpha$이고 $\displaystyle b=\frac{2c}{\alpha}$이다.

집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형이 대각선의 길이가 각각 $\displaystyle 2a,2b$인 마름모이므로 구하는 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}(2a\cdot2b)=2ab=2\left(2\alpha\cdot\frac{2c}{\alpha}\right)=8c$이다. 그러므로 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형의 넓이가 $\displaystyle a,b$에 관계없이 일정하다.

집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형이 대각선의 길이가 각각 $\displaystyle 2a,2b$인 마름모이므로 둘레의 길이는 $\displaystyle 4\sqrt{a^{2}+b^{2}}$이다. 주어진 조건 $\displaystyle n(A\cap B)=4$를 만족할 때 양의 실수 $\displaystyle a,b$가 $\displaystyle ab=4c$를 만족한다. $\displaystyle ab=4c$를 만족시키는 양의 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여, 산술평균-기하평균의 부등식에 의해서$\displaystyle a^{2}+b^{2}\ge2\sqrt{a^{2}b^{2}}=2ab=2\cdot4c=8c$이므로 구하는 둘레의 길이 $\displaystyle 4\sqrt{a^{2}+b^{2}}$의 최솟값은 $\displaystyle 4\sqrt{8c}=8\sqrt{2c}$이다.

(2) 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형의 넓이를 집합 $\displaystyle A\cap B$의 원소들을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이로 나눈 값을 $\displaystyle h_{k}$라고 하자. 이때, $\displaystyle h_{k}$가 양수 $\displaystyle a,b,c$와 관계없이 일정함을 보이고 $\displaystyle h_{k}$를 $\displaystyle k$에 관한 식으로 나타내시오.풀이: 집합 $\displaystyle A,B$가 나타내는 도형들이 모두 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이므로 자연수 $\displaystyle k$와 양수 $\displaystyle a,b$에 대하여 직선 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$이 제1사분면에서 곡선 $\displaystyle x=\frac{c}{y^{k}}$에 접할 때 주어진 조건 $\displaystyle n(A\cap B)=4$를 만족한다.

곡선 $\displaystyle x=\frac{c}{y^{k}}$ 위의 $\displaystyle \alpha>0$인 점 $\displaystyle \left(\frac{c}{\alpha^{k}},\alpha\right)$에서 직선 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$이 접한다고 하면, $\displaystyle x=\frac{c}{y^{k}}$를 $\displaystyle y$의 함수로 보고 $\displaystyle y$에 대해서 미분하면 $\displaystyle x^{\prime}=-\frac{ck}{y^{k+1}}$이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{ck}{\alpha^{k+1}}$이고 접선의 방정식은Comment. 이어지는 접선의 방정식은 맞지만, $\displaystyle -\frac{ck}{\alpha^{k+1}}$은 $\displaystyle y$에 대한 $\displaystyle x$의 변화율이다. 접선의 기울기는 그 역수인 $\displaystyle -\frac{\alpha^{k+1}}{ck}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle x-\frac{c}{\alpha^{k}}=\left(-\frac{ck}{\alpha^{k+1}}\right)(y-\alpha)$이다. 이 접선과 $\displaystyle x$축과의 교점이 $\displaystyle \left(\frac{c(k+1)}{\alpha^{k}},0\right)$이고 $\displaystyle y$축과의 교점이 $\displaystyle \left(0,\frac{k+1}{k}\alpha\right)$이므로 $\displaystyle a=\frac{c(k+1)}{\alpha^{k}}$이고 $\displaystyle b=\frac{k+1}{k}\alpha$이다.

집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형이 대각선의 길이가 각각 $\displaystyle 2a,2b$인 마름모이므로 구하는 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}(2a\cdot2b)=2ab=2\left(\frac{c(k+1)}{\alpha^{k}}\cdot\frac{k+1}{k}\alpha\right)=2c\frac{(k+1)^{2}}{k\alpha^{k-1}}$이다. 집합 $\displaystyle A,B$가 나타내는 도형들이 모두 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이므로$\displaystyle A\cap B=\left\{\left(\frac{c}{\alpha^{k}},\alpha\right),\left(\frac{c}{\alpha^{k}},-\alpha\right),\left(-\frac{c}{\alpha^{k}},\alpha\right),\left(-\frac{c}{\alpha^{k}},-\alpha\right)\right\}$이다. 이들을 꼭짓점으로 하는 사각형이 직사각형이므로 이 직사각형의 넓이는$\displaystyle 4\left(\frac{c}{\alpha^{k}}\cdot\alpha\right)=\frac{4c}{\alpha^{k-1}}$이다. 따라서$\displaystyle h_{k}=\left(2c\frac{(k+1)^{2}}{k\alpha^{k-1}}\right)\cdot\left(\frac{4c}{\alpha^{k-1}}\right)^{-1}=\frac{(k+1)^{2}}{2k}$이므로 $\displaystyle h_{k}$는 양수 $\displaystyle a,b,c$와 관계없이 일정하다.

(3) 문항(2)의 $\displaystyle h_{k}$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^{2}h_{k+1}}$의 값을 구하시오.풀이: 문항(2)의 결과에 따라$\displaystyle h_{k}=\frac{(k+1)^{2}}{2k}$이다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^{2}h_{k+1}} &= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{4}{k^{2}h_{k+1}}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{8(k+1)}{k^{2}(k+2)^{2}} \\ &= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}2\left(\frac{1}{k^{2}}-\frac{1}{(k+2)^{2}}\right)=\lim_{n\to\infty}2\left(1+\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}}\right)=\frac{5}{2} \end{aligned}$이다.