자연계열 II 2번

(1) 모든 부부가 서로 이웃하여 앉는 모든 경우의 수를 구하시오.풀이: 각 부부가 서로 이웃하게 앉아야 하므로 한 쌍의 부부를 하나의 묶음으로 생각하면 총 $\displaystyle k$개의 묶음이다. 이 $\displaystyle k$개의 묶음을 원탁 위에 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle (k-1)!$가지이다. 또한 각 부부는 자리만 서로 바꾸어 앉을 수 있으므로 각 부부마다 2가지의 배열이 가능하다. 그러므로 구하는 경우의 수는 $\displaystyle (k-1)!\times2^{k}$가지이다.

(2) 정확히 $\displaystyle (k-1)$쌍의 부부만 서로 이웃하여 앉는 모든 경우의 수를 구하시오.풀이: $\displaystyle k$쌍의 부부들 중 먼저 서로 이웃하지 않는 부부를 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{k}\mathrm{C}_{1}$가지이다. 선택된 부부를 제외한 나머지 $\displaystyle (k-1)$쌍의 부부를 하나의 묶음으로 보고 $\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots,A_{k-1}$라고 하자. 그리고 선택된 부부를 각각 $\displaystyle B_{1},B_{2}$라고 하자. 그러면 $\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots,A_{k-1},B_{1},B_{2}$를 원탁에 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle k!$가지이다. 그리고 선택되지 않은 $\displaystyle (k-1)$쌍의 부부가 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 각 2가지의 배열이 가능하므로 총 $\displaystyle k!2^{k-1}$가지이다. 여기에서 $\displaystyle B_{1},B_{2}$가 서로 이웃한 경우의 수는 문항 (1)에서 구한 $\displaystyle (k-1)!2^{k}$가지이다. 따라서 부부 $\displaystyle B_{1},B_{2}$가 이웃하는 경우를 제외한 경우의 수는$\displaystyle k!2^{k-1}-(k-1)!2^{k}=(k-1)!(k-2)2^{k-1}$이다. 그러므로 구하는 경우의 수는$\displaystyle {}_{k}\mathrm{C}_{1}(k-1)!(k-2)2^{k-1}=k!(k-2)2^{k-1}$가지이다.

(3) 정확히 $\displaystyle (k-2)$쌍의 부부만 서로 이웃하여 앉는 모든 경우의 수를 구하시오.풀이: $\displaystyle k$쌍의 부부들 중 먼저 서로 이웃하지 않는 부부를 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{k}\mathrm{C}_{2}$가지이다. 선택된 부부를 제외한 나머지 $\displaystyle (k-2)$쌍의 부부를 하나의 묶음으로 보고 $\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots,A_{k-2}$ 라고 하자. 그리고 선택된 두 부부를 각각 $\displaystyle B_{1},B_{2}$ 그리고 $\displaystyle C_{1},C_{2}$라고 하자. 그러면 $\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots,A_{k-2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$를 원탁에 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle (k+1)!$ 가지이다. 그리고 선택되지 않은 $\displaystyle (k-2)$쌍의 부부가 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 각 부부마다 2가지의 배열이 가능하므로 총 $\displaystyle (k+1)!2^{k-2}$가지이다.

여기에서 부부 $\displaystyle B_{1},B_{2}$가 이웃하거나 부부 $\displaystyle C_{1},C_{2}$가 이웃하는 경우의 수를 제외하자. 먼저 부부 $\displaystyle B_{1},B_{2}$가 이웃하는 경우의 수는 문항 (2)에서 구한 $\displaystyle k!2^{k-1}$가지이고 마찬가지로 부부 $\displaystyle C_{1},C_{2}$가 이웃하는 경우의 수 역시 $\displaystyle k!2^{k-1}$가지이다. 두 부부 $\displaystyle B_{1},B_{2}$와 $\displaystyle C_{1},C_{2}$가 모두 이웃하는 경우의 수는 문항 (1)에서 구한 $\displaystyle (k-1)!\times2^{k}$가지이다. 따라서 부부 $\displaystyle B_{1},B_{2}$가 이웃하거나 부부 $\displaystyle C_{1},C_{2}$가 이웃하는 경우를 제외한 경우의 수는$\displaystyle (k+1)!2^{k-2}-\left(k!2^{k-1}+k!2^{k-1}-(k-1)!2^{k}\right)=(k-1)!(k^{2}-3k+4)2^{k-2}$가지이다. 그러므로 구하는 모든 경우의 수는$\displaystyle {}_{k}\mathrm{C}_{2}\times(k-1)!(k^{2}-3k+4)2^{k-2}=k!(k-1)(k^{2}-3k+4)2^{k-3}$가지이다.

(4) 문항(2)에서 구한 경우의 수를 $\displaystyle a_{k}$라 할 때 $\displaystyle 0<\sum_{k=2}^{n}\frac{a_{k}}{2^{k-1}3^{k+1}}<1$을 만족하는 2 이상의 자연수 $\displaystyle n$을 모두 구하시오.풀이: 문항(2)의 결과에 따라 $\displaystyle a_{k}=k!(k-2)2^{k-1}$이므로$\displaystyle \frac{a_{k}}{2^{k-1}3^{k+1}}=\frac{k!(k-2)}{3^{k+1}}=\frac{(k+1)!-3\times k!}{3^{k+1}}=\frac{(k+1)!}{3^{k+1}}-\frac{k!}{3^{k}}$이 된다. 따라서 2 이상의 자연수 $\displaystyle n$에 대해서$\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\frac{a_{k}}{2^{k-1}3^{k+1}}=\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{(k+1)!}{3^{k+1}}-\frac{k!}{3^{k}}\right)=\frac{(n+1)!}{3^{n+1}}-\frac{2}{9}$이다.

$\displaystyle n\ge2$일 때 $\displaystyle \frac{(n+2)!}{3^{n+2}}>\frac{(n+1)!}{3^{n+1}}$이므로 수열 $\displaystyle \frac{(n+1)!}{3^{n+1}}-\frac{2}{9}$은 증가수열이다.$\displaystyle n=2$일 때 $\displaystyle \frac{6}{27}-\frac{2}{9}=0$이고, $\displaystyle n=5$일 때 $\displaystyle \frac{720}{729}-\frac{2}{9}=\frac{62}{81}<1$이며, $\displaystyle n=6$일 때 $\displaystyle \frac{5040}{2187}-\frac{2}{9}=\frac{506}{243}>1$이므로 구하는 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 3,4,5$이다.