자연계열 II 1번

(1) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 각각의 구간 $\displaystyle (0,\infty)$, $\displaystyle (-\infty,0)$에서 아래로 볼록함을 보이시오.풀이: 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f(x)=xe^{x}$이므로 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=(x+2)e^{x}>0$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 아래로 볼록인 함수이다. 한편 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(-x)=f(x)$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이다. 따라서 구간 $\displaystyle (-\infty,0)$에서 $\displaystyle f(x)$는 아래로 볼록인 함수이다. 그러므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 각각의 구간 $\displaystyle (0,\infty)$, $\displaystyle (-\infty,0)$에서 아래로 볼록하다.

(2) $\displaystyle x_{1}<x_{2}$인 실수 $\displaystyle x_{1},x_{2}$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}=(x_{1},f(x_{1}))$, $\displaystyle \mathrm{Q}=(x_{2},f(x_{2}))$ 사이의 곡선 부분이 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$보다 아래쪽에 있음을 보이시오.풀이: 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 임의의 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}=(x_{1},f(x_{1}))$, $\displaystyle \mathrm{Q}=(x_{2},f(x_{2}))$ $\displaystyle (x_{1}<x_{2})$에 대하여 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$ 사이의 곡선 부분은 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$보다 항상 아래쪽에 있음을 보인다. 주어진 함수의 특징에 따라 $\displaystyle x_{1},x_{2}\ge0$ 이거나 $\displaystyle x_{1},x_{2}\le0$, 그리고 $\displaystyle x_{1}<0<x_{2}$ 인 경우로 나누어 생각한다.

(i) $\displaystyle x_{1},x_{2}\ge0$인 경우. 문항(1)의 결과로부터 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 아래로 볼록인 함수이다. 그러므로 곡선의 오목과 볼록의 정의에 의하여 $\displaystyle 0<x_{1}<x_{2}$일 때 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$ 사이의 곡선 부분은 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$보다 아래쪽에 있다. $\displaystyle x_{1}=0$, $\displaystyle x_{2}=\alpha>0$이면 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=e^{\alpha}x$이므로 $\displaystyle 0<x<\alpha$인 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식$\displaystyle e^{\alpha}x-f(x)=x(e^{\alpha}-e^{x})>0$을 만족한다. 따라서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$ 사이의 곡선 부분은 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$보다 아래쪽에 있다.

(ii) $\displaystyle x_{1},x_{2}\le0$인 경우. 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(-x)=f(x)$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이다. 따라서 경우 (i)의 결과로부터 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$ 사이의 곡선 부분은 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$보다 아래쪽에 있다.

(iii) $\displaystyle x_{1}<0<x_{2}$인 경우. 좌표평면의 원점을 $\displaystyle \mathrm{O}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{O}=(0,f(0))$이다. $\displaystyle f(x)$가 각각의 구간 $\displaystyle [0,\infty)$, $\displaystyle (-\infty,0]$에서 아래로 볼록하므로 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{O}$ 사이의 곡선 부분은 선분 $\displaystyle \mathrm{PO}$보다 항상 아래쪽에 있으며, 마찬가지로 두 점 $\displaystyle \mathrm{O},\mathrm{Q}$ 사이의 곡선 부분은 선분 $\displaystyle \mathrm{OQ}$보다 항상 아래쪽에 있다. 한편, $\displaystyle f(x_{1})>0$, $\displaystyle f(x_{2})>0$이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{PO}$와 $\displaystyle \mathrm{OQ}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 아래쪽에 있다. 따라서, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$ 사이의 곡선 부분은 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$보다 항상 아래쪽에 있다.

(3) 함수 $\displaystyle S(a)$가 미분가능하지 않은 실수 $\displaystyle a$의 값을 모두 구하시오.풀이: 문항(2)의 결과로부터 두 점 $\displaystyle (a,f(a))$, $\displaystyle (a+1,f(a+1))$을 잇는 선분은 항상 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위쪽에 놓인다. 네 점 $\displaystyle (a,0)$, $\displaystyle (a,f(a))$, $\displaystyle (a+1,f(a+1))$, $\displaystyle (a+1,0)$을 꼭짓점으로 갖는 사다리꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac{f(a)+f(a+1)}{2}$ 이므로$\displaystyle S(a)=\frac{f(a)+f(a+1)}{2}-\int_{a}^{a+1}f(x)dx$이다.

(i) ($\displaystyle a\ge0$인 경우) 이때 $\displaystyle a<x<a+1$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=xe^{x}$이므로$\displaystyle S(a)=\frac{ae^{a}+(a+1)e^{a+1}}{2}-\int_{a}^{a+1}xe^{x}dx$이다. 부분적분법에 의하여$\displaystyle \int_{a}^{a+1}xe^{x}dx=\Biggl[(x-1)e^{x}\Biggr]_{a}^{a+1}=ae^{a+1}-(a-1)e^{a}$이므로$\displaystyle S(a)=\frac{e^{a}((3-e)a+e-2)}{2}$를 얻는다.

(ii) ($\displaystyle -1<a<0$인 경우) 이때 닫힌구간 $\displaystyle [a,a+1]$이 $\displaystyle 0$을 포함하므로$\displaystyle S(a)=\frac{-ae^{-a}+(a+1)e^{a+1}}{2}+\int_{a}^{0}xe^{-x}dx-\int_{0}^{a+1}xe^{x}dx$이다. 부분적분법을 사용하여 계산하면$\displaystyle S(a)=\frac{(a+2)e^{-a}}{2}+\frac{(1-a)e^{a+1}}{2}-2$이다.

(iii) ($\displaystyle a\le-1$인 경우) 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프가 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이므로 대칭성에 의해 $\displaystyle S(a)=S(-a-1)$이다. 따라서$\displaystyle S(a)=\frac{e^{-a-1}((e-3)a+2e-5)}{2}$이다.

이제 미분가능성을 조사하자. $\displaystyle a>0$에서$\displaystyle S^{\prime}(a)=\frac{e^{a}((3-e)a+1)}{2}$이고, $\displaystyle -1<a<0$에서$\displaystyle S^{\prime}(a)=-\frac{(a+1)e^{-a}+ae^{a+1}}{2}$이다. 대칭성에 의해 $\displaystyle a<-1$에서 $\displaystyle S^{\prime}(a)=-S^{\prime}(-a-1)$이다. 한편, 함수의 극한의 기본 성질을 이용하면

$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{h\to0+}\frac{S(h)-S(0)}{h} &= \lim_{h\to0+}\frac{1}{h}\left(\frac{e^{h}((3-e)h+e-2)}{2}-\frac{e-2}{2}\right) \\ &= \lim_{h\to0+}\left(\frac{3-e}{2}e^{h}+\frac{e-2}{2}\cdot\frac{e^{h}-1}{h}\right) \\ &= \frac{3-e}{2}\lim_{h\to0+}e^{h}+\frac{e-2}{2}\lim_{h\to0+}\frac{e^{h}-1}{h} \\ &= \frac{3-e}{2}+\frac{e-2}{2}=\frac{1}{2} \end{aligned}$이고

$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{h\to0-}\frac{S(h)-S(0)}{h} &= \lim_{h\to0-}\frac{1}{h}\left(\frac{(h+2)e^{-h}}{2}+\frac{(1-h)e^{h+1}}{2}-2-\left(1+\frac{e}{2}-2\right)\right) \\ &= \lim_{h\to0-}\left(\frac{e^{-h}}{2}-\frac{e^{h+1}}{2}+\frac{e^{-h}-1}{h}+\frac{e(e^{h}-1)}{2h}\right) \\ &= \frac{1}{2}-\frac{e}{2}+\lim_{h\to0-}\frac{e^{-h}-1}{h}+\frac{e}{2}\lim_{h\to0-}\frac{e^{h}-1}{h} \\ &= \frac{1}{2}-\frac{e}{2}-1+\frac{e}{2}=-\frac{1}{2} \end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{S(h)-S(0)}{h}=\frac{1}{2}\ne-\frac{1}{2}=\lim_{h\to0-}\frac{S(h)-S(0)}{h}$이고 $\displaystyle S^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\frac{S(h)-S(0)}{h}$이 존재하지 않으므로 함수 $\displaystyle S(a)$는 $\displaystyle a=0$에서 미분가능하지 않다.

$\displaystyle a\le-1$일 때 $\displaystyle S(a)=S(-a-1)$이므로 대칭성에 의해 함수 $\displaystyle S(a)$는 $\displaystyle a=-1$에서 미분가능하지 않다. 따라서 함수 $\displaystyle S(a)$가 미분가능하지 않은 실수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle a=-1,0$이다.

(4) 함수 $\displaystyle S(a)$의 최솟값을 구하시오.풀이: 문항(3)의 풀이에 의하여 $\displaystyle a\ge0$에서 $\displaystyle S^{\prime}(a)=\frac{e^{a}((3-e)a+1)}{2}$이다. $\displaystyle e<3$이므로 $\displaystyle a\ge0$에서 $\displaystyle S^{\prime}(a)>0$이다.Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 앞 문항에서 함수 $\displaystyle S(a)$가 $\displaystyle a=0$에서 미분가능하지 않음을 이미 확인했다. 따라서 도함수 식과 $\displaystyle S'(a)>0$을 서술한 두 문장의 범위는 $\displaystyle a\ge0$이 아니라 $\displaystyle a>0$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 함수 $\displaystyle S(a)$는 $\displaystyle a\ge0$에서 증가한다. 그러므로 $\displaystyle a\ge0$에서 함수 $\displaystyle S(a)$의 최솟값은 $\displaystyle S(0)=\frac{e-2}{2}$이다. 대칭성 $\displaystyle S(a)=S(-a-1)$에 의하여 함수 $\displaystyle S(a)$는 구간 $\displaystyle (-\infty,-1]$에서 $\displaystyle a=-1$일 때 최솟값을 가지며, 그 값은 $\displaystyle S(-1)=\frac{e-2}{2}$이다.

실수 $\displaystyle a$가 열린구간 $\displaystyle (-1,0)$에 속할 때 문항 (1)의 풀이에 의하여Correction. 대학 예시답안의 “문항 (1)의 풀이에 의하여”는 “문항 (3)의 풀이에 의하여”여야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle S^{\prime}(a)=-\frac{(a+1)e^{-a}+ae^{a+1}}{2}$이다. 함수 $\displaystyle S(a)$의 이계도함수를 계산하면$\displaystyle S^{\prime\prime}(a)=\frac{ae^{-a}-(a+1)e^{a+1}}{2}$을 얻는다. $\displaystyle -1<a<0$일 때 $\displaystyle a<0<(a+1)e^{2a+1}$이므로 $\displaystyle ae^{-a}-(a+1)e^{a+1}<0$을 만족한다. 그러므로 $\displaystyle -1<a<0$에서 $\displaystyle S^{\prime\prime}(a)<0$이다. 따라서 도함수 $\displaystyle S^{\prime}(a)$는 열린구간 $\displaystyle (-1,0)$에서 감소한다. $\displaystyle S^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right)=0$이므로 함수 $\displaystyle S(a)$는 열린구간 $\displaystyle (-1,0)$에서 $\displaystyle a=-\frac{1}{2}$일 때 극댓값을 갖는다. 또한, 구간 $\displaystyle \left(-1,-\frac{1}{2}\right)$에서 증가하며 구간 $\displaystyle \left(-\frac{1}{2},0\right)$에서 감소한다.따라서 구하고자 하는 최솟값은 $\displaystyle \frac{e-2}{2}$이다.

(5) 방정식 $\displaystyle S(a)=c$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $\displaystyle c$의 값을 모두 구하시오.풀이: 문항(4)의 결과로부터, 함수 $\displaystyle S(a)$는 각각의 열린구간 $\displaystyle (-\infty,-1)$, $\displaystyle \left(-\frac{1}{2},0\right)$에서 감소하고, 각각의 열린구간 $\displaystyle \left(-1,-\frac{1}{2}\right)$, $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가한다. 또한, $\displaystyle a=-1,0$에서 최솟값 $\displaystyle \frac{e-2}{2}$을 가지며 $\displaystyle a=-\frac{1}{2}$에서 극댓값$\displaystyle S\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{\left(\left(-\frac{1}{2}\right)+2\right)e^{-\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2}+\frac{\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)e^{\left(-\frac{1}{2}\right)+1}}{2}-2=\frac{3}{2}e^{\frac{1}{2}}-2$를 갖는다. 그러므로 방정식 $\displaystyle S(a)=c$은 실수 $\displaystyle c$의 값이 오직 $\displaystyle S\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}\sqrt{e}-2$일 때 3개의 서로 다른 실근을 가진다. 따라서 구하고자 하는 실수 $\displaystyle c$는 $\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{e}-2$이다.