자연계열 I 2번

(1) $\displaystyle M\ge2$인 사건의 경우의 수를 구하시오.풀이: 선택한 네 장의 카드에 적힌 수를 작은 순으로 나열한 네 수를 차례로 $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle a_{3}$, $\displaystyle a_{4}$라 하자. $\displaystyle M\ge2$인 사건은 네 수 $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle a_{3}$, $\displaystyle a_{4}$의 인접한 두 수의 차이가 모두 2이상인 사건과 같다. $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle a_{3}$, $\displaystyle a_{4}$의 인접한 두 수의 차이가 모두 2이상이면,$\displaystyle a_{2}-a_{1}\ge2,\quad a_{3}-a_{2}\ge2,\quad a_{4}-a_{3}\ge2$이다. 12개의 숫자를 작은 순으로 배치했을 때 뽑히지 않은 $\displaystyle 12-4=8$개의 수가 아래 5개의 네모 칸에 나뉘어 들어간다.$\displaystyle \square\,a_{1}\,\square\,a_{2}\,\square\,a_{3}\,\square\,a_{4}\,\square$

각 네모 칸에 들어가는 숫자 개수를 $\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},n_{4},n_{5}$라 하면 가운데 세 개의 네모 칸에 각각 1개 이상의 숫자가 들어가야 인접한 차가 2 이상이 된다. 즉, 아래의 식을 만족해야 한다.$\displaystyle n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}=8,\quad n_{1},n_{5}\ge0,\quad n_{2},n_{3},n_{4}\ge1.$여기서 $\displaystyle m_{2}=n_{2}-1, m_{3}=n_{3}-1, m_{4}=n_{4}-1$라고 두면$\displaystyle n_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+n_{5}=5,\quad n_{1},n_{5},m_{2},m_{3},m_{4}\ge0$가 되어 방정식 $\displaystyle n_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+n_{5}=5$의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 따라서 $\displaystyle M\ge2$인 사건의 경우의 수는$\displaystyle {}_{5}\mathrm{H}_{5}={}_{9}\mathrm{C}_{5}={}_{9}\mathrm{C}_{4}=\frac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1}=126$이다.

(2) $\displaystyle M=2$인 사건의 경우의 수를 구하시오.풀이: 문항 (1)에 의해서 $\displaystyle M\ge2$인 사건의 경우의 수는 126이다. 한 편, $\displaystyle M\ge3$인 경우, 선택한 네 장의 카드에 적힌 수를 작은 순으로 나열했을 때, 인접한 두 수의 차이가 모두 3이상이다. 즉 작은 순으로 나열한 네 수 $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle a_{3}$, $\displaystyle a_{4}$에 대하여$\displaystyle a_{2}-a_{1}\ge3,\quad a_{3}-a_{2}\ge3,\quad a_{4}-a_{3}\ge3$이다. 12개의 숫자를 작은 순으로 배치했을 때 뽑히지 않은 $\displaystyle 12-4=8$개의 수가 아래 5개의 네모 칸에 나뉘어 들어간다.$\displaystyle \square\,a_{1}\,\square\,a_{2}\,\square\,a_{3}\,\square\,a_{4}\,\square$

각 네모 칸에 들어가는 숫자 개수를 $\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},n_{4},n_{5}$라 하면 가운데 세 개의 네모 칸에 각각 2개 이상의 숫자가 들어가야 인접한 차가 3 이상이 된다. 즉, 아래의 식을 만족해야 한다.$\displaystyle n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}=8,\quad n_{1},n_{5}\ge0,\quad n_{2},n_{3},n_{4}\ge2.$여기서 $\displaystyle m_{2}=n_{2}-2, m_{3}=n_{3}-2, m_{4}=n_{4}-2$라고 두면$\displaystyle n_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+n_{5}=2,\quad n_{1},n_{5},m_{2},m_{3},m_{4}\ge0$가 되어 방정식 $\displaystyle n_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+n_{5}=2$의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 따라서 $\displaystyle M\ge2$인 사건의 경우의 수는Correction. 대학 예시답안에서 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{H}_{2}=15$로 계산한 것은 $\displaystyle M\ge3$인 사건의 경우의 수이므로, 이 문장의 “$\displaystyle M\ge2$”는 “$\displaystyle M\ge3$”이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle {}_{5}\mathrm{H}_{2}={}_{6}\mathrm{C}_{2}=\frac{6\times5}{2\times1}=15$이다. $\displaystyle M=2$인 사건의 경우의 수는 $\displaystyle M\ge2$인 사건의 경우의 수에서 $\displaystyle M\ge3$인 사건의 경우의 수를 제외한 것이므로 $\displaystyle 126-15=111$이다.

(3) $\displaystyle M$의 값을 확률변수 $\displaystyle X$라 할 때, $\displaystyle X$의 기댓값을 구하시오.풀이: 문항 (2)에서 $\displaystyle M\ge2$인 사건과 $\displaystyle M\ge3$인 사건의 경우의 수는 각각 126, 15임을 구하였다. $\displaystyle M\ge4$인 경우 선택한 서로 다른 네 수 $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle a_{3}$, $\displaystyle a_{4}$에 대하여 $\displaystyle a_{2}-a_{1}\ge4$, $\displaystyle a_{3}-a_{2}\ge4$, $\displaystyle a_{4}-a_{3}\ge4$ 이므로,$\displaystyle a_{4}\ge4+a_{3}\ge8+a_{2}\ge12+a_{1}$이고 $\displaystyle 12\ge a_{4}\ge12+a_{1}$이므로 $\displaystyle a_{1}\le0$이다. 이것은 $\displaystyle a_{1}$이 자연수라는 가정에 모순이다. 따라서 $\displaystyle M\ge4$인 사건은 일어나지 않는다.

한편 네 장의 카드를 뽑았을 때 선택한 카드의 네 수는 서로 다르므로 항상 $\displaystyle M\ge1$이다. 그러므로, $\displaystyle M\ge1$인 사건의 경우의 수는 $\displaystyle {}_{12}\mathrm{C}_{4}=495$이다. 위의 결과와 문항 (2)의 결과로부터, $\displaystyle M=1,2,3$인 사건의 경우의 수를 각각 구할 수 있다. 구체적으로 $\displaystyle M=1$인 사건의 경우의 수는 모든 사건의 경우의 수에서 $\displaystyle M\ge2$인 사건의 경우의 수를 제외한 것이므로 $\displaystyle 495-126=369$이고, $\displaystyle M=2$인 사건의 경우의 수는 문항 (2)에서 구했듯이 111이다. 마지막으로 $\displaystyle M=3$인 사건의 경우의 수는 $\displaystyle M\ge4$인 사건이 일어나지 않으므로 15이다. 따라서 확률변수 $\displaystyle X$의 범위가 $\displaystyle X=1,2,3$이다.

전체 사건의 경우의 수가 495이므로, 각각의 확률은$\displaystyle \mathrm{P}(X=1)=\frac{369}{495}=\frac{41}{55},\quad \mathrm{P}(X=2)=\frac{111}{495}=\frac{37}{165},\quad \mathrm{P}(X=3)=\frac{15}{495}=\frac{1}{33}$이다. 그러므로 $\displaystyle X$의 기댓값은$\displaystyle \mathrm{E}(X)=1\cdot\frac{369}{495}+2\cdot\frac{111}{495}+3\cdot\frac{1}{33}=\frac{369+222+45}{495}=\frac{636}{495}=\frac{212}{165}$이다.