자연계열 I 3번

(1) $\displaystyle xy=1$의 점 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에서 접선의 방정식을 $\displaystyle lx+my=1$의 꼴로 나타낼 때 $\displaystyle l+m$을 $\displaystyle \alpha$에 관한 식으로 나타내시오.풀이: $\displaystyle y=\frac{1}{x}$로 두고 변수 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle y^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}$이고 점 $\displaystyle \left(\alpha,\frac{1}{\alpha}\right)$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{1}{\alpha^{2}}$이다. 따라서 점 $\displaystyle \left(\alpha,\frac{1}{\alpha}\right)$에서 접선의 방정식은$\displaystyle y-\frac{1}{\alpha}=\left(-\frac{1}{\alpha^{2}}\right)(x-\alpha)$이며 주어진 꼴로 정리하면$\displaystyle \frac{1}{2\alpha}x+\frac{\alpha}{2}y=1$이므로 구하는 식은 $\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\alpha}+\alpha\right)$이다.

(2) 집합 $\displaystyle A$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\displaystyle a,b$에 관계없이 일정함을 보이시오.풀이: 집합 $\displaystyle A,B$가 나타내는 도형들이 모두 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle a>0,b>0$에 대하여 직선 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$가 제1사분면에서 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$에 접할 때 $\displaystyle n(A\cap B)=4$인 조건을 만족한다. 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ 위의 $\displaystyle \alpha>0$인 점 $\displaystyle \left(\alpha,\frac{1}{\alpha}\right)$에서 접한다고 하면 문항(1)에 따라 $\displaystyle a=2\alpha, b=\frac{2}{\alpha}$이다. 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형이 대각선의 길이가 각각 $\displaystyle 2a,2b$인 마름모이므로 구하는 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}(2a\cdot2b)=2ab=2\left(2\alpha\cdot\frac{2}{\alpha}\right)=8$이다. 따라서 집합 $\displaystyle A$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\displaystyle a,b$에 관계없이 일정하다.

(3) 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형의 둘레의 길이의 최솟값을 구하시오.풀이: 집합 $\displaystyle A$가 나타내는 도형이 대각선의 길이가 각각 $\displaystyle 2a,2b$인 마름모이므로 둘레의 길이가 $\displaystyle 4\sqrt{a^{2}+b^{2}}$이다. 문항(2)에 의하여 주어진 조건을 만족할 때 양수 $\displaystyle a,b$는 $\displaystyle ab=4$를 만족한다. $\displaystyle ab=4$를 만족하는 $\displaystyle a>0,b>0$에 대하여, 산술평균-기하평균의 부등식에 의해서$\displaystyle a^{2}+b^{2}\ge2\sqrt{a^{2}b^{2}}=2ab=2\cdot4=8$이므로 구하는 둘레의 길이 $\displaystyle 4\sqrt{a^{2}+b^{2}}$의 최솟값은 $\displaystyle 4\sqrt{8}=8\sqrt{2}$이다.