수리논술, 이게 다다.

자연계열 (오전) 1번

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한양대 서울캠퍼스 2015학년도 수시 자연계열 (오전) 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2015su/jayeon_am_1

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[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

수열 {an},{bn},{cn}\displaystyle \{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}이an>0, bn≠0, cn>0 (n=1,2,⋯ )\displaystyle a_n>0,\ b_n\ne0,\ c_n>0\ (n=1,2,\cdots)을 만족시킬 때, An,Bn,Cn\displaystyle A_n,B_n,C_n을 다음과 같이 정의하자.

<가> An\displaystyle A_n은 곡선 y=−x2+2nan\displaystyle y=-x^2+2^na_n과 x\displaystyle x축으로 둘러싸인 부분을 y\displaystyle y축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피이다.

<나> Bn\displaystyle B_n은 정적분 ∫01(1−12nbnln⁡(x+1))dx\displaystyle \int_0^1\left(1-\frac1{2^nb_n}\ln(x+1)\right)dx의 값이다.

<다> Cn\displaystyle C_n은 곡선 y=cn2−nx\displaystyle y=c_n2^{-nx}, x\displaystyle x축, y\displaystyle y축, x=1\displaystyle x=1로 둘러싸인 부분을 x\displaystyle x축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피이다.

1. 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 An=2π\displaystyle A_n=2\pi로 일정할 때, 무한급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n이 수렴하는지를 밝히고, 수렴하면 수렴하는 값을 구하시오.

2. 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 Bn=2π\displaystyle B_n=2\pi로 일정할 때, 무한급수 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n이 수렴하는지를 밝히고, 수렴하면 수렴하는 값을 구하시오.

3. 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 Cn=2π\displaystyle C_n=2\pi로 일정할 때, 무한급수 ∑n=1∞cn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n과 ∑n=1∞cnn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{c_n}{\sqrt n}이 수렴하는지를 각각 밝히고, 수렴하면 수렴하는 값을 구하시오.

해설강의 준비중

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+20점 · An\displaystyle A_n 구하기

1. An=π∫02nan(2nan−y)dy=π(2nany−12y2)∣02nan=π24nan2\displaystyle A_n=\pi\int_0^{2^na_n}(2^na_n-y)dy=\left.\pi\left(2^na_ny-\frac12y^2\right)\right|_0^{2^na_n}=\frac\pi2 4^na_n^2이다.

+10점 · ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n 구하기

An=2π\displaystyle A_n=2\pi이므로 an=22n\displaystyle a_n=\frac2{2^n}이고 ∑n=1∞an=2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n=2

+20점 · Bn\displaystyle B_n 구하기

2. Bn=∫01(1−12nbnln⁡(x+1))dx=x−12nbn((x+1)ln⁡(x+1)−(x+1))∣01=1−12nbn(2ln⁡2−1)\displaystyle B_n=\int_0^1\left(1-\frac1{2^nb_n}\ln(x+1)\right)dx=\left.x-\frac1{2^nb_n}((x+1)\ln(x+1)-(x+1))\right|_0^1=1-\frac1{2^nb_n}(2\ln2-1)이다.

+10점 · ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n 구하기

Bn=2π\displaystyle B_n=2\pi이므로 bn=2ln⁡2−12n(1−2π)\displaystyle b_n=\frac{2\ln2-1}{2^n(1-2\pi)}이고 ∑n=1∞bn=2ln⁡2−11−2π=1−2ln⁡22π−1=−2ln⁡2−12π−1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n=\frac{2\ln2-1}{1-2\pi}=\frac{1-2\ln2}{2\pi-1}=-\frac{2\ln2-1}{2\pi-1}

+20점 · Cn\displaystyle C_n 구하기

3. Cn=π∫01cn24−nxdx=πcn2ln⁡4−n4−nx∣01=π2ln⁡2(1−14n)cn2n\displaystyle C_n=\pi\int_0^1c_n^24^{-nx}dx=\left.\frac{\pi c_n^2}{\ln4^{-n}}4^{-nx}\right|_0^1=\frac\pi{2\ln2}\left(1-\frac1{4^n}\right)\frac{c_n^2}n이다.Cn=2π\displaystyle C_n=2\pi이므로 cn=4ln⁡2⋅n⋅2n4n−1\displaystyle c_n=\sqrt{4\ln2\cdot n}\cdot\frac{2^n}{\sqrt{4^n-1}}이고 cnn=4ln⁡2⋅2n4n−1\displaystyle \frac{c_n}{\sqrt n}=\sqrt{4\ln2}\cdot\frac{2^n}{\sqrt{4^n-1}}이다.

따라서 lim⁡n→∞cn=lim⁡n→∞4ln⁡2⋅n⋅2n4n−1=∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\lim_{n\to\infty}\sqrt{4\ln2\cdot n}\cdot\frac{2^n}{\sqrt{4^n-1}}=\infty이고

lim⁡n→∞cnn=lim⁡n→∞4ln⁡2⋅2n4n−1=4ln⁡2=2ln⁡2≠0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{\sqrt n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{4\ln2}\cdot\frac{2^n}{\sqrt{4^n-1}}=\sqrt{4\ln2}=2\sqrt{\ln2}\ne0이다.

+10점 · ∑n=1∞cn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n 발산함 밝히기
+10점 · ∑n=1∞cnn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{c_n}{\sqrt n} 발산함 밝히기

“무한급수 ∑n=1∞dn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty d_n 수렴하면, lim⁡n→∞dn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_n=0이다”는 사실에 의하여무한급수 ∑n=1∞cn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n와 ∑n=1∞cnn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{c_n}{\sqrt n}는 모두 발산한다.

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