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자연계열 (오전) 2번

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한양대 서울캠퍼스 2015학년도 수시 자연계열 (오전) 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2015su/jayeon_am_2

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[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

<가> 두 벡터 v⃗\displaystyle \vec v와 w⃗\displaystyle \vec w가 이루는 각을 θ\displaystyle \theta라 할 때, v⃗\displaystyle \vec v와 w⃗\displaystyle \vec w의 내적 v⃗⋅w⃗\displaystyle \vec v\cdot\vec w를 다음과 같이 정의한다.v⃗⋅w⃗=∣v⃗∣∣w⃗∣cos⁡θ\displaystyle \vec v\cdot\vec w=|\vec v||\vec w|\cos\theta

<나> 점 E1(1,0)\displaystyle \mathrm E_1(1,0)과 E2(0,1)\displaystyle \mathrm E_2(0,1)의 위치벡터를 각각 e⃗1\displaystyle \vec e_1과 e⃗2\displaystyle \vec e_2라 하자.

<다> 평면 위에 영벡터가 아닌 벡터 a⃗\displaystyle \vec a와 e⃗1\displaystyle \vec e_1이 이루는 각은 θ1\displaystyle \theta_1이고, θ1\displaystyle \theta_1은 0<θ1<π\displaystyle 0<\theta_1<\pi를 만족시킨다.

<라> 벡터 b⃗=a⃗+e⃗1\displaystyle \vec b=\vec a+\vec e_1과 e⃗1\displaystyle \vec e_1이 이루는 각은 θ2\displaystyle \theta_2이다.

1. 제시문에서 주어진 두 벡터 a⃗,b⃗\displaystyle \vec a,\vec b에 대하여 ∣a⃗∣=2,∣b⃗∣=1\displaystyle |\vec a|=\sqrt2,|\vec b|=1일 때, 내적 a⃗⋅b⃗\displaystyle \vec a\cdot\vec b의 값을 구하시오.

2. 제시문에서 주어진 벡터 a⃗\displaystyle \vec a의 x\displaystyle x성분과 y\displaystyle y성분을 θ1\displaystyle \theta_1과 θ2\displaystyle \theta_2로 나타내시오.(단, θ1,θ2\displaystyle \theta_1,\theta_2는 제시문 <다>와 <라>에서 주어진 각이다.)

3. 제시문에서 주어진 θ1,θ2\displaystyle \theta_1,\theta_2에 대하여 부등식 sin⁡(π−θ1)+sin⁡θ2+sin⁡(θ1−θ2)≤332\displaystyle \sin(\pi-\theta_1)+\sin\theta_2+\sin(\theta_1-\theta_2)\le\frac{3\sqrt3}2이 성립함을 보이시오.

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2015학년도 수시 자연계열 (오전) 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2015su/jayeon_am_2

+30점 · 벡터의 내적의 정의를 이해하고 있는가? 삼각형에서 코사인 제2법칙을 알고, 벡터의 내적을 구할 수 있는가?

1. 두 벡터 a⃗\displaystyle \vec a와 b⃗\displaystyle \vec b가 이루는 각은 θ=θ1−θ2\displaystyle \theta=\theta_1-\theta_2이다. 세 벡터 a⃗,b⃗,e⃗1\displaystyle \vec a,\vec b,\vec e_1이 만드는 삼각형에서 코사인 제2법칙에 의하여∣e⃗1∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2a⃗⋅b⃗\displaystyle |\vec e_1|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos\theta=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b이므로, 1=2+1−2a⃗⋅b⃗\displaystyle 1=2+1-2\vec a\cdot\vec b이다.따라서 a⃗⋅b⃗=1\displaystyle \vec a\cdot\vec b=1이다.

두 벡터 a, b와 단위벡터 e₁이 만드는 삼각형. 각도 표기는 원문 보존.

Correction. 그림의 θ2−θ1\displaystyle \theta_2-\theta_1은 θ1−θ2\displaystyle \theta_1-\theta_2의 오기이다. 본문의 사인법칙은 올바른 각을 사용한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+20점 · 두 벡터가 생성하는 삼각형에서 사인법칙을 적용할 수 있는가?

2. 삼각형의 사인법칙에 의하여sin⁡θ2∣a⃗∣=sin⁡(π−θ1)∣b⃗∣=sin⁡(θ1−θ2)1\displaystyle \frac{\sin\theta_2}{|\vec a|}=\frac{\sin(\pi-\theta_1)}{|\vec b|}=\frac{\sin(\theta_1-\theta_2)}1이 성립한다.따라서 ∣a⃗∣=sin⁡θ2sin⁡(θ1−θ2)\displaystyle |\vec a|=\frac{\sin\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}이다.

+10점 · 벡터의 크기와 x\displaystyle x축과 이루는 각을 알 때, 벡터를 구할 수 있는가?

벡터 벡터 a⃗\displaystyle \vec a가 x\displaystyle x축 아래에 놓여있는 경우를 고려하면,벡터 a⃗\displaystyle \vec a의 x\displaystyle x성분은 sin⁡θ2sin⁡(θ1−θ2)cos⁡θ1\displaystyle \frac{\sin\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}\cos\theta_1이고, 벡터 a⃗\displaystyle \vec a의 y\displaystyle y성분은 ±sin⁡θ2sin⁡(θ1−θ2)sin⁡θ1\displaystyle \pm\frac{\sin\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}\sin\theta_1이다.

+10점 · 2차 도함수의 부호를 구하고, 함수의 볼록성을 알아낼 수 있는가?

3. f(θ)=sin⁡θ, (0<θ<π)\displaystyle f(\theta)=\sin\theta,\ (0<\theta<\pi)일 때, f′′(θ)<0\displaystyle f^{\prime\prime}(\theta)<0이다. 따라서 구간 [0,π]\displaystyle [0,\pi]에서 함수 f(θ)\displaystyle f(\theta)는 위로 볼록인 함수이다.

+30점 · 함수의 볼록성을 이용하여 주어진 부등식을 도출해낼 수 있는가?

그러므로,sin⁡(π−θ1)+sin⁡θ2+sin⁡(θ1−θ2)≤2sin⁡(π−θ1+θ22)+sin⁡(θ1−θ2)=3[23sin⁡(π−θ1+θ22)+13sin⁡(θ1−θ2)]≤3sin⁡(23π−θ1+θ22+13(θ1−θ2))=3sin⁡π3=332\displaystyle \begin{aligned}\sin(\pi-\theta_1)+\sin\theta_2+\sin(\theta_1-\theta_2)&\le2\sin\left(\frac{\pi-\theta_1+\theta_2}2\right)+\sin(\theta_1-\theta_2)\\&=3\left[\frac23\sin\left(\frac{\pi-\theta_1+\theta_2}2\right)+\frac13\sin(\theta_1-\theta_2)\right]\\&\le3\sin\left(\frac23\frac{\pi-\theta_1+\theta_2}2+\frac13(\theta_1-\theta_2)\right)\\&=3\sin\frac\pi3=\frac{3\sqrt3}2\end{aligned}

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