자연계열 (오전) 2번

1. 두 벡터 $\displaystyle \vec a$와 $\displaystyle \vec b$가 이루는 각은 $\displaystyle \theta=\theta_1-\theta_2$이다. 세 벡터 $\displaystyle \vec a,\vec b,\vec e_1$이 만드는 삼각형에서 코사인 제2법칙에 의하여$\displaystyle |\vec e_1|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos\theta=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b$이므로, $\displaystyle 1=2+1-2\vec a\cdot\vec b$이다.따라서 $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=1$이다.

2. 삼각형의 사인법칙에 의하여$\displaystyle \frac{\sin\theta_2}{|\vec a|}=\frac{\sin(\pi-\theta_1)}{|\vec b|}=\frac{\sin(\theta_1-\theta_2)}1$이 성립한다.따라서 $\displaystyle |\vec a|=\frac{\sin\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}$이다.

벡터 벡터 $\displaystyle \vec a$가 $\displaystyle x$축 아래에 놓여있는 경우를 고려하면,벡터 $\displaystyle \vec a$의 $\displaystyle x$성분은 $\displaystyle \frac{\sin\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}\cos\theta_1$이고, 벡터 $\displaystyle \vec a$의 $\displaystyle y$성분은 $\displaystyle \pm\frac{\sin\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}\sin\theta_1$이다.

3. $\displaystyle f(\theta)=\sin\theta,\ (0<\theta<\pi)$일 때, $\displaystyle f^{\prime\prime}(\theta)<0$이다. 따라서 구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 함수 $\displaystyle f(\theta)$는 위로 볼록인 함수이다.

그러므로,$\displaystyle \begin{aligned}\sin(\pi-\theta_1)+\sin\theta_2+\sin(\theta_1-\theta_2)&\le2\sin\left(\frac{\pi-\theta_1+\theta_2}2\right)+\sin(\theta_1-\theta_2)\\&=3\left[\frac23\sin\left(\frac{\pi-\theta_1+\theta_2}2\right)+\frac13\sin(\theta_1-\theta_2)\right]\\&\le3\sin\left(\frac23\frac{\pi-\theta_1+\theta_2}2+\frac13(\theta_1-\theta_2)\right)\\&=3\sin\frac\pi3=\frac{3\sqrt3}2\end{aligned}$