자연계열 (오후2) 1번

평면 $\displaystyle \beta:\sqrt3y-z=0$의 법선벡터는 $\displaystyle (0,\sqrt3,-1)$, 평면 $\displaystyle \gamma:-x+\sqrt2y=0$의 법선벡터는 $\displaystyle (-1,\sqrt2,0)$로 놓고 두 평면이 이루는 예각을 $\displaystyle \theta$라 하면, $\displaystyle \cos\theta=\frac{(0,\sqrt3,-1)\cdot(-1,\sqrt2,0)}{|(0,\sqrt3,-1)||(-1,\sqrt2,0)|}=\frac{\sqrt2}2$이다.

따라서 (원판 $\displaystyle A$의 평면 $\displaystyle \gamma$ 위로의 정사영의 넓이) = (원판 $\displaystyle A$의 넓이)$\displaystyle \times\cos\theta=\frac{\sqrt2}2\pi$이다.

2. 점 $\displaystyle \mathrm M_1$을 $\displaystyle (x,y,z)$라 하면 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1,\ z=0,\ z=\sqrt3y,\ x>0$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle \mathrm M_1$은 $\displaystyle (1,0,0)$이고, 같은 방법으로 $\displaystyle \mathrm M_2$는 $\displaystyle \left(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt6},\frac1{\sqrt2}\right)$, $\displaystyle \mathrm M_3$는 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},0\right)$이다. <그림 1 참조>

세 점 $\displaystyle \mathrm M_1,\mathrm M_2,\mathrm M_3$를 지나는 평면의 방정식을 $\displaystyle ax+by+cz=1$로 두고 위 좌표들을 대입해 $\displaystyle a,b,c$를 구하면, 평면의 방정식은 $\displaystyle x+(\sqrt3-\sqrt2)y+(\sqrt2-1)z=1$이 되고, 따라서 $\displaystyle a+b+c=\sqrt3$이다.

평면 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$의 법선벡터를 각각 $\displaystyle (0,0,1),(0,\sqrt3,-1),(-1,\sqrt2,0)$로 하면, 문제 1의 방법을 따라 평면 $\displaystyle \alpha,\beta$가 이루는 예각은 $\displaystyle \frac\pi3$, 평면 $\displaystyle \beta,\gamma$가 이루는 예각은 $\displaystyle \frac\pi4$, 평면 $\displaystyle \gamma,\alpha$가 이루는 각은 $\displaystyle \frac\pi2$이다.

<그림 2>의 색칠한 부분의 넓이 $\displaystyle =2(S_1+S_2)=2\times4\pi\times\frac{\frac\pi3}{2\pi}=\frac43\pi$이고, 정리하면 $\displaystyle S_1+S_2=\frac23\pi$ …… (1)<그림 3>의 색칠한 부분의 넓이 $\displaystyle =2(S_1+S_3)=2\times4\pi\times\frac{\frac\pi4}{2\pi}=\pi$이고, 정리하면 $\displaystyle S_1+S_3=\frac\pi2$ …… (2)<그림 4>의 색칠한 부분의 넓이 $\displaystyle =2(S_1+S_4)=2\times4\pi\times\frac{\frac\pi2}{2\pi}=2\pi$이고, 정리하면 $\displaystyle S_1+S_4=\pi$ …… (3)구면의 넓이는 $\displaystyle 2S_1+2S_2+2S_3+2S_4=4\pi$이고, 정리하면 $\displaystyle S_1+S_2+S_3+S_4=2\pi$ …… (4)(1), (2), (3), (4)로부터 $\displaystyle S_1=\frac\pi{12},\ S_2=\frac7{12}\pi,\ S_3=\frac5{12}\pi,\ S_4=\frac{11}{12}\pi$이고, 따라서 가장 작은 조각의 넓이는 $\displaystyle S_1=\frac\pi{12}$이다.