자연계열 (오후1) 2번

1. $\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(x)+f(h)+6xh-f(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}h+6x=f^{\prime}(0)+6x\end{aligned}$따라서 $\displaystyle f(x)=3x^2+f^{\prime}(0)x+C$이다. (여기서 $\displaystyle C$는 적분상수이다)∎ $\displaystyle f(0)=0=C$이다.∎ $\displaystyle f(1)=1=3+f^{\prime}(0)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=-2$이다.그러므로 $\displaystyle f(x)=3x^2-2x$이다.

2. 중간값의 정리에 의해 $\displaystyle f(x)=\frac12$인 $\displaystyle x_0$가 0과 1사이에 존재한다.

구간 $\displaystyle [0,x_0]$와 $\displaystyle [x_0,1]$에 대하여 평균값의 정리를 적용하면,$\displaystyle f^{\prime}(c_1)=\frac{f(x_0)-f(0)}{x_0}=\frac{f(x_0)}{x_0}$와 $\displaystyle f^{\prime}(c_2)=\frac{f(1)-f(x_0)}{1-x_0}=\frac{1-f(x_0)}{1-x_0}$인 $\displaystyle 0<c_1<x_0$과 $\displaystyle x_0<c_2<1$가 존재한다.$\displaystyle \begin{aligned}\frac1{f^{\prime}(c_1)}+\frac1{f^{\prime}(c_2)}=2&\ \Leftrightarrow\ \frac{x_0}{f(x_0)}+\frac{1-x_0}{1-f(x_0)}=2\\&\ \Leftrightarrow\ x_0(1-f(x_0))+(1-x_0)f(x_0)=2f(x_0)(1-f(x_0))\\&\ \Leftrightarrow\ (1-2f(x_0))(x_0-f(x_0))=0\end{aligned}$그런데, $\displaystyle f(x_0)=\frac12$이므로, $\displaystyle 1-2f(x_0)=0$이다. 따라서 $\displaystyle (1-2f(x_0))(x_0-f(x_0))=0$이 성립한다.그러므로 $\displaystyle \frac1{f^{\prime}(c_1)}+\frac1{f^{\prime}(c_2)}=2$이다.

3. $\displaystyle n=1$인 경우는 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 평균값 정리를 적용하면, $\displaystyle f^{\prime}(c_1)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1$인 $\displaystyle c_1$이 0과 1사이에 존재한다. $\displaystyle n=2$인 경우는 (2)에서 이미 증명하였는데, 증명의 아이디어는 다음과 같다.① 구간 $\displaystyle [0,1]$의 함수 $\displaystyle f$에 대한 치역 $\displaystyle f([0,1])$에 포함되는 구간 $\displaystyle [0,1]$을 2등분하여 중간값의 정리를 적용.② 중간값의 정리의 적용을 통해 구한 값 $\displaystyle x_0\in(0,1)$에 의해 결정된 두 구간 $\displaystyle [0,x_0]$과 $\displaystyle [x_0,1]$에 대해 평균값의 정리를 적용.$\displaystyle n\ge3$인 경우에도 위의 아이디어를 적용한다. 우선 치역 $\displaystyle f([0,1])$에 포함되는 구간 $\displaystyle [0,1]$을 $\displaystyle n$등분하여 얻은 값은 $\displaystyle \frac1n,\cdots,\frac{n-1}n$이다. $\displaystyle k$는 $\displaystyle 1\le k\le n-1$인 자연수라고 할 때, 중간값의 정리에 의해 $\displaystyle f(x)=\frac kn$를 만족시키는 $\displaystyle x$가 0과 1사이에 적어도 하나 존재한다. 그런 $\displaystyle x$중에서 제일 작은 수를 $\displaystyle a_k$라고 하자. 그러면,$\displaystyle f(a_k)=\frac kn\ (1\le k\le n-1)$이고, 중간값의 정리에 의해 $\displaystyle 0<a_1<a_2<\cdots<a_{n-1}<1$을 만족함을 알 수 있다.

$\displaystyle a_0=0,a_n=1$이라 하고, 구간 $\displaystyle [a_{k-1},a_k]$에서 평균값의 정리를 적용하면 $\displaystyle f^{\prime}(c_k)=\frac{f(a_k)-f(a_{k-1})}{a_k-a_{k-1}}$을 만족시키는 $\displaystyle c_k$가 $\displaystyle a_{k-1}$과 $\displaystyle a_k$사이에 적어도 하나 존재한다. 그런데, $\displaystyle f^{\prime}(c_k)=\frac{f(a_k)-f(a_{k-1})}{a_k-a_{k-1}}=\frac{\frac kn-\frac{k-1}n}{a_k-a_{k-1}}=\frac1{n(a_k-a_{k-1})}$이므로, $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac1{f^{\prime}(c_k)}=\sum_{k=1}^n n(a_k-a_{k-1})=n(a_n-a_0)=n$이다.