수리논술, 이게 다다.

자연계열 (오후2) 2번

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한양대 서울캠퍼스 2015학년도 수시 자연계열 (오후2) 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2015su/jayeon_pm2_2

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[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

모든 양의 실수 x\displaystyle x에 대하여 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 다음과 같이 정의된다.f(x)={1+ln⁡x,0<x≤13−2x,x>1\displaystyle f(x)=\begin{cases}1+\ln x,&0<x\le1\\3-2^x,&x>1\end{cases}

1. 이차함수 h(x)=x2+b\displaystyle h(x)=x^2+b의 그래프와 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, b\displaystyle b의 값의 범위를 구하시오.

2. 이차함수 h(x)=ax2+3\displaystyle h(x)=ax^2+3의 그래프와 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, a\displaystyle a의 값의 범위를 구하시오.

3. 양의 실수 t\displaystyle t에 대하여 함수 y=f(x)−tx2\displaystyle y=f(x)-tx^2의 극댓값을 g(t)\displaystyle g(t)라 할 때, lim⁡t→e2g(t)2t−e\displaystyle \lim_{t\to\frac e2}\frac{g(t)}{2t-e}의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

심화 포락선 정리

한양대 서울캠퍼스 2015학년도 수시 자연계열 (오후2) 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2015su/jayeon_pm2_2

+10점 · 접점 x0\displaystyle x_0 구하기

1. 한 점 (x0,f(x0))\displaystyle (x_0,f(x_0))에서 만나면, 0<x0<1\displaystyle 0<x_0<1이다.x=x0\displaystyle x=x_0에서 접선의 기울기가 같아야 하므로 1x0=2x0\displaystyle \frac1{x_0}=2x_0이며 x0=12<1\displaystyle x_0=\frac1{\sqrt2}<1이다.

+10점 · b\displaystyle b 구하기

h(x0)=12+b=f(x0)=1−12ln⁡2\displaystyle h(x_0)=\frac12+b=f(x_0)=1-\frac12\ln2이므로 b=12(1−ln⁡2)\displaystyle b=\frac12(1-\ln2)이다.

+10점 · b\displaystyle b의 범위 구하기

따라서 b<12(1−ln⁡2)=12−ln⁡12=12−ln⁡2\displaystyle b<\frac12(1-\ln2)=\frac12-\ln\frac1{\sqrt2}=\frac12-\ln\sqrt2일 때 두 점에서 만난다.Correction. 중간 식의 1/2−ln⁡(1/2)\displaystyle 1/2-\ln(1/\sqrt2)는 1/2+ln⁡(1/2)\displaystyle 1/2+\ln(1/\sqrt2)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+10점 · 접점 x0\displaystyle x_0 구하기

2. 한 점 (x0,f(x0))\displaystyle (x_0,f(x_0))에서 만나면, x0≥1\displaystyle x_0\ge1이다.x=x0\displaystyle x=x_0에서 접선의 기울기가 같아야 하므로 −ln⁡2⋅2x0=2ax0\displaystyle -\ln2\cdot2^{x_0}=2ax_0이고

h(x0)=ax02+3=3−2x0=f(x0)\displaystyle h(x_0)=ax_0^2+3=3-2^{x_0}=f(x_0)이므로 x0=2ln⁡2>1\displaystyle x_0=\frac2{\ln2}>1이고,

+10점 · a\displaystyle a 구하기

a=−(ln⁡2)241ln⁡24\displaystyle a=-\frac{(\ln2)^2 4^{\frac1{\ln2}}}4이다.

+10점 · a\displaystyle a의 범위 구하기

따라서 a<−(ln⁡2)241ln⁡24=−(ln⁡2)222ln⁡24\displaystyle a<-\frac{(\ln2)^2 4^{\frac1{\ln2}}}4=-\frac{(\ln2)^2 2^{\frac2{\ln2}}}4일 때 두 점에서 만난다.

3. F(x)=f(x)−tx2\displaystyle F(x)=f(x)-tx^2라 하면 F′(x)=f′(x)−2tx\displaystyle F'(x)=f'(x)-2tx이다.f′(x)={1x(x<1)−ln⁡2⋅2x(x>1)\displaystyle f'(x)=\begin{cases}\frac1x&(x<1)\\-\ln2\cdot2^x&(x>1)\end{cases}과 y=2tx\displaystyle y=2tx의 그래프는 t\displaystyle t의 값의 범위에 따라

+20점 · 0<t≤12\displaystyle 0<t\le\frac12인 경우와 t>12\displaystyle t>\frac12인 경우의 g(t)\displaystyle g(t) 구하기
+10점 · 극댓값이 있는 점 구하기

i) 0<t≤12\displaystyle 0<t\le\frac12인 경우x=1\displaystyle x=1의 좌우에서 F′(x)\displaystyle F'(x)의 부호가 양수에서 음수로 변하므로 F(x)\displaystyle F(x)는 x=1\displaystyle x=1에서 극대가 된다.g(t)=F(1)=f(1)−t=1−t\displaystyle g(t)=F(1)=f(1)-t=1-t

ii) t>12\displaystyle t>\frac12이고 x<1\displaystyle x<1인 경우F(x)=f(x)−tx2\displaystyle F(x)=f(x)-tx^2라 하면 F′(x)=1x−2tx=0\displaystyle F'(x)=\frac1x-2tx=0이고 x=12t<1\displaystyle x=\frac1{\sqrt{2t}}<1t>12\displaystyle t>\frac12이고 x>1\displaystyle x>1인 경우 F′(x)\displaystyle F'(x)는 음수이다. F(x)\displaystyle F(x)는 x=1\displaystyle x=1에서 연속이고x=12t\displaystyle x=\frac1{\sqrt{2t}}에서 F′(x)\displaystyle F'(x)의 부호가 양수에서 음수로 변하므로 x=12t<1\displaystyle x=\frac1{\sqrt{2t}}<1에서 극댓값이 있다.F(12t)=g(t)=12−12(ln⁡(2t))\displaystyle F\left(\frac1{\sqrt{2t}}\right)=g(t)=\frac12-\frac12(\ln(2t))이다. g(e2)=0\displaystyle g\left(\frac e2\right)=0이므로

+10점 · 극한값 구하기

lim⁡t→e2g(t)2t−e=12lim⁡t→e2g(t)−g(e2)t−e2=12g′(e2)=−12e\displaystyle \lim_{t\to\frac e2}\frac{g(t)}{2t-e}=\frac12\lim_{t\to\frac e2}\frac{g(t)-g(\frac e2)}{t-\frac e2}=\frac12g'\left(\frac e2\right)=-\frac1{2e}

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