자연계열 (오후2) 2번

1. 한 점 $\displaystyle (x_0,f(x_0))$에서 만나면, $\displaystyle 0<x_0<1$이다.$\displaystyle x=x_0$에서 접선의 기울기가 같아야 하므로 $\displaystyle \frac1{x_0}=2x_0$이며 $\displaystyle x_0=\frac1{\sqrt2}<1$이다.

$\displaystyle h(x_0)=\frac12+b=f(x_0)=1-\frac12\ln2$이므로 $\displaystyle b=\frac12(1-\ln2)$이다.

따라서 $\displaystyle b<\frac12(1-\ln2)=\frac12-\ln\frac1{\sqrt2}=\frac12-\ln\sqrt2$일 때 두 점에서 만난다.Correction. 중간 식의 $\displaystyle 1/2-\ln(1/\sqrt2)$는 $\displaystyle 1/2+\ln(1/\sqrt2)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

2. 한 점 $\displaystyle (x_0,f(x_0))$에서 만나면, $\displaystyle x_0\ge1$이다.$\displaystyle x=x_0$에서 접선의 기울기가 같아야 하므로 $\displaystyle -\ln2\cdot2^{x_0}=2ax_0$이고

$\displaystyle h(x_0)=ax_0^2+3=3-2^{x_0}=f(x_0)$이므로 $\displaystyle x_0=\frac2{\ln2}>1$이고, $\displaystyle a=-\frac{(\ln2)^2 4^{\frac1{\ln2}}}4$이다.

따라서 $\displaystyle a<-\frac{(\ln2)^2 4^{\frac1{\ln2}}}4=-\frac{(\ln2)^2 2^{\frac2{\ln2}}}4$일 때 두 점에서 만난다.

i) $\displaystyle 0<t\le\frac12$인 경우$\displaystyle x=1$의 좌우에서 $\displaystyle F'(x)$의 부호가 양수에서 음수로 변하므로 $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 극대가 된다.$\displaystyle g(t)=F(1)=f(1)-t=1-t$

ii) $\displaystyle t>\frac12$이고 $\displaystyle x<1$인 경우$\displaystyle F(x)=f(x)-tx^2$라 하면 $\displaystyle F'(x)=\frac1x-2tx=0$이고 $\displaystyle x=\frac1{\sqrt{2t}}<1$$\displaystyle t>\frac12$이고 $\displaystyle x>1$인 경우 $\displaystyle F'(x)$는 음수이다. $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 연속이고$\displaystyle x=\frac1{\sqrt{2t}}$에서 $\displaystyle F'(x)$의 부호가 양수에서 음수로 변하므로 $\displaystyle x=\frac1{\sqrt{2t}}<1$에서 극댓값이 있다.$\displaystyle F\left(\frac1{\sqrt{2t}}\right)=g(t)=\frac12-\frac12(\ln(2t))$이다. $\displaystyle g\left(\frac e2\right)=0$이므로

$\displaystyle \lim_{t\to\frac e2}\frac{g(t)}{2t-e}=\frac12\lim_{t\to\frac e2}\frac{g(t)-g(\frac e2)}{t-\frac e2}=\frac12g'\left(\frac e2\right)=\frac1{2e}$Correction. 마지막 극한값 $\displaystyle 1/(2e)$는 $\displaystyle -1/(2e)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.