상경계열 2번

1. $\displaystyle A+A^2+A^3+\cdots+A^{2015}$$\displaystyle =(A+A^2+A^3)+\cdots+(A^{2011}+A^{2012}+A^{2013})+A^{2014}+A^{2015}$그런데 $\displaystyle (A^2+A+E)(A-E)=A^3-E=O$에서 $\displaystyle A^3=E$.따라서 $\displaystyle A+A^2+A^3+\cdots+A^{2015}=A(E+A+A^2)+\cdots+A^{2011}(E+A+A^2)+A+A^2$$\displaystyle =A^2+A=-E$그러므로, 모든 성분의 합은 $\displaystyle -2$.

2. $\displaystyle A+2A^2+4A^3+\cdots+2^{2014}A^{2015}=C$⋯①이 식의 양변에 $\displaystyle 2A$를 왼쪽에서 곱하면$\displaystyle 2A^2+2^2A^3+\cdots+2^{2014}A^{2015}+2^{2015}A^{2016}=2AC$⋯②②에서 ①을 빼면$\displaystyle 2^{2015}A^{2016}-A=2AC-C$$\displaystyle 2^{2015}A^{2016}=A-C+2AC$그런데 $\displaystyle A^3=E$이므로 $\displaystyle A^{2016}=E$.그러므로 $\displaystyle A-C+2AC=2^{2015}E$이고 모든 성분의 합은 $\displaystyle 2^{2016}$.

3. $\displaystyle AB+A=E$⋯①에서 $\displaystyle A(B+E)=E$그러므로 $\displaystyle (B+E)A=E$⋯②즉, $\displaystyle BA+A=E$⋯③①, ③에서 $\displaystyle AB=BA$그러므로 ①에서 $\displaystyle \underline{BA=AB=-A+E}$또한 ②에서 $\displaystyle \underline{A^{-1}=B+E}$따라서 $\displaystyle A^{-1}-BA=(B+E)-(-A+E)=A+B$ 그러므로 $\displaystyle a=b=1$.또한 $\displaystyle A^{-1}-BA=A+B$에서, $\displaystyle A^{-1}=BA+A+B$그러므로 $\displaystyle (BA+A+B)^{2015}A^{2016}+A^{2015}$$\displaystyle =(A^{-1})^{2015}A^{2016}+A^{2015}$$\displaystyle =A+A^2=-E$따라서, 모든 성분의 합은 $\displaystyle -2$.