자연계열 (오후1) 1번

1. 조건 (1), (2)를 만족하는 일차 변환을 나타내는 행렬을 $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$라 하면,$\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$에서 $\displaystyle 2a+b=1$⋯①　$\displaystyle 2c+d=2$⋯②　$\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}$에서 $\displaystyle a^2+c^2=1$⋯③　$\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}$에서 $\displaystyle b^2+d^2=1$⋯④①, ②, ③, ④로 부터$\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$는 $\displaystyle \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$또는 $\displaystyle \begin{pmatrix}4/5&-3/5\\3/5&4/5\end{pmatrix}$이다. $\displaystyle \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$이고 $\displaystyle \begin{pmatrix}4/5&-3/5\\3/5&4/5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6/5\\17/5\end{pmatrix}$이므로점 $\displaystyle (3,2)$가 옮겨지는 점은 $\displaystyle (2,3)$ 또는 $\displaystyle (6/5,17/5)$이다.

합성변환 $\displaystyle h_\alpha\circ h_\beta$를 나타내는 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos2\alpha&\sin2\alpha\\\sin2\alpha&-\cos2\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos2\beta&\sin2\beta\\\sin2\beta&-\cos2\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos2(\alpha-\beta)&-\sin2(\alpha-\beta)\\\sin2(\alpha-\beta)&\cos2(\alpha-\beta)\end{pmatrix}$이 되고,따라서 $\displaystyle h_\alpha\circ h_\beta$는 각 $\displaystyle 2(\alpha-\beta)$만큼 회전하는 회전변환이다.

$\displaystyle h_\alpha\circ h_\beta\circ h_\gamma$를 나타내는 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos2(\alpha-\beta)&-\sin2(\alpha-\beta)\\\sin2(\alpha-\beta)&\cos2(\alpha-\beta)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos2\gamma&\sin2\gamma\\\sin2\gamma&-\cos2\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos2(\alpha-\beta+\gamma)&\sin2(\alpha-\beta+\gamma)\\\sin2(\alpha-\beta+\gamma)&-\cos2(\alpha-\beta+\gamma)\end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle h_\alpha\circ h_\beta\circ h_\gamma$는 원점을 지나고 기울기가 $\displaystyle \tan(\alpha-\beta+\gamma)$인 직선에 대한 대칭변환이다.Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 $\displaystyle y$축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: $\displaystyle \cos(\alpha-\beta+\gamma)=0$이면 합성변환의 대칭축은 $\displaystyle y$축이므로 기울기 $\displaystyle \tan(\alpha-\beta+\gamma)$로 나타낼 수 없다. 처음 세 직선의 기울기가 모두 정의되어도 이 경우는 가능하다. 이때는 대칭축이 $\displaystyle x=0$임을 따로 쓰면 되며, 앞에서 구한 변환행렬과 뒤의 회전변환 결론에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

3. $\displaystyle a_n-a_{n+1}+a_{n+2}=1$이므로 문제 2에 의해 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f_n\circ f_{n+1}\circ f_{n+2}$는 원점을 지나고 기울기가 $\displaystyle \tan\left(\frac{a_n\pi}{12}-\frac{a_{n+1}\pi}{12}+\frac{a_{n+2}\pi}{12}\right)=\tan\frac\pi{12}$인 직선에 대한 대칭변환이다. 이를 $\displaystyle f$라 하자.즉, 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f=f_n\circ f_{n+1}\circ f_{n+2}$이다.

$\displaystyle 2014=3\times671+1$이고 $\displaystyle f\circ f$는 항등변환이므로$\displaystyle \begin{aligned}f_1\circ f_2\circ\cdots\circ f_{2014}&=f_1\circ(f_2\circ f_3\circ f_4)\circ(f_5\circ f_6\circ f_7)\circ\cdots\circ(f_{2012}\circ f_{2013}\circ f_{2014})\\&=f_1\circ\underbrace{f\circ f\circ\cdots\circ f}_{671\text{개}}=f_1\circ f\end{aligned}$이다. $\displaystyle f_1$은 원점을 지나고 기울기가 $\displaystyle \tan\frac{5\pi}{12}$인 직선에 대한 대칭변환이므로, 문제 $\displaystyle 2$에 의해 $\displaystyle f_1\circ f$는각 $\displaystyle 2\left(\frac{5\pi}{12}-\frac\pi{12}\right)=\frac{2\pi}3$만큼 회전하는 회전변환이다.