자연계열 (오전) 1번

(1) $\displaystyle \begin{aligned}a+b&=\frac{\sqrt3m+1}{\sqrt3-m}+\frac{\sqrt3m-1}{\sqrt3+m}=\frac{(\sqrt3m+1)(\sqrt3+m)+(\sqrt3m-1)(\sqrt3-m)}{(\sqrt3-m)(\sqrt3+m)}\\&=\frac{3m+\sqrt3+\sqrt3m^2+m+3m-\sqrt3-\sqrt3m^2+m}{3-m^2}\\&=\frac{8m}{3-m^2}\ge0\end{aligned}$따라서, $\displaystyle m^2\ne3$과 $\displaystyle m(m^2-3)\le0$이고, 이 부등식을 만족시키는 $\displaystyle m$의 범위를 구하면$\displaystyle m<-\sqrt3,\quad0\le m<\sqrt3$ ------------------- ㉠이다. ㉠과 $\displaystyle |m|\le N$을 만족시키는 $\displaystyle m$의 개수 $\displaystyle f(N)$은 $\displaystyle (N-1)+2=N+1$이다.

그러므로, 극한값은 $\displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{f(N)}{2N+1}=\lim_{N\to\infty}\frac{N+1}{2N+1}=\frac12$이다.

(2) $\displaystyle ab=\frac{\sqrt3m+1}{\sqrt3-m}\cdot\frac{\sqrt3m-1}{\sqrt3+m}=\frac{3m^2-1}{3-m^2}\ge k>0$

① $\displaystyle |m|\ge2$인 경우$\displaystyle \begin{aligned}3m^2-1\le k(3-m^2)&\ \Longrightarrow\ (k+3)m^2-(3k+1)\le0\\&\ \Longrightarrow\ m^2\le\frac{3k+1}{k+3}=\frac{3(k+3)-8}{k+3}=3-\frac8{k+3}\\&\ \Longrightarrow\ |m|<\sqrt3\end{aligned}$∴ $\displaystyle |m|\ge2$과 $\displaystyle |m|<\sqrt3$을 동시에 만족시키는 정수 $\displaystyle m$은 없다.➁ $\displaystyle |m|\le1$인 경우$\displaystyle \begin{aligned}3m^2-1\ge k(3-m^2)&\ \Longrightarrow\ (k+3)m^2\ge3k+1\\&\ \Longrightarrow\ m^2\ge\frac{3k+1}{k+3}=3-\frac8{k+3}\\&\ \Longrightarrow\ m\le-\sqrt{\frac{3k+1}{k+3}}\ \text{또는}\ m\ge\sqrt{\frac{3k+1}{k+3}}\end{aligned}$▶ $\displaystyle k=1$이면, $\displaystyle m\ge1$ 또는 $\displaystyle m\le-1$이다.∴ $\displaystyle m=1,-1$이다.▶ $\displaystyle k\ge2$이면, $\displaystyle |m|\le1$과 $\displaystyle m^2\ge\frac{3k+1}{k+3}$을 만족시키는 $\displaystyle m$은 없다.

(3)

$\displaystyle \tan\frac\pi3=\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{m-c}{1+mc}=\sqrt3$이므로, $\displaystyle m-c=\sqrt3(1+mc)$이다.

따라서 $\displaystyle c=\frac{m-\sqrt3}{\sqrt3m+1}$이다.