자연계열 (오전) 2번

한양대 서울캠퍼스 2016학년도 수시 자연계열 (오전) 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2016su/jayeon_am_2

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

<가> 아래 그림과 같이 한 변의 길이가 $\displaystyle 4$ 인 정사각형 영역을 $\displaystyle R$ 이라 하자. 영역 $\displaystyle R$ 에 위치하며 좌표의 성분이 모두 정수인 점들은 25개가 있다.

<나> 연속확률변수 $\displaystyle X$ 는 구간 $\displaystyle [0,2]$ 에서 값을 가지고, 그 확률밀도함수는 $\displaystyle f(x)=\frac\pi4\sin\left(\frac\pi2x\right)$ 이다.

1. 제시문 <가>의 25개 점들 중에서 3개를 임의로 선택할 때 그 세 점이 한 직선 위에 있지 않을 확률을 구하시오.

2. 점 $\displaystyle (0,0)$ 을 지나며 기울기가 $\displaystyle X$ 인 직선이 영역 $\displaystyle R$ 과 겹치는 부분의 길이를 $\displaystyle Y$ 라 하자. 이 때 $\displaystyle Y\ge\frac{4\sqrt{10}}3$ 일 확률을 구하시오.

3. 중심이 점 $\displaystyle (4,4)$ 이고 반지름이 $\displaystyle X$ 인 원의 내부가 $\displaystyle R$ 과 겹치는 영역의 넓이를 $\displaystyle Z$ 라 하자. 이 때 $\displaystyle Z$ 의 평균을 구하시오.

해설강의 준비중

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+20점 · 세 점 이상을 포함하는 직선의 개수를 유도하였는가?

1.점 $\displaystyle 5$ 개를 포함하는 직선의 갯수 : $\displaystyle 12$ 점 $\displaystyle 4$ 개만을 포함하는 직선의 갯수 : $\displaystyle 4$ 점 $\displaystyle 3$ 개만을 포함하는 직선의 갯수 : $\displaystyle 16$ $\displaystyle 12\times{}_{5}\mathrm{C}_{3}+4\times{}_{4}\mathrm{C}_{3}+16=12\times\frac{5!}{3!\times2!}+4\times4+16=120+16+16=152$

+10점 · 구한 직선의 개수를 이용하여 요구하는 확률을 구하였는가?

확률 = $\displaystyle 1-\frac{152}{{}_{25}\mathrm{C}_{3}}=1-\frac{152}{2300}=\frac{2148}{2300}=\frac{537}{575}$

+20점 ·

\displaystyle Y

가 주어진 범위의 값을 가질 확률을 정적분으로 표현하였는가?

$\displaystyle y=ax$ 가 영역 $\displaystyle R$ 과 겹치는 부분을 살펴보면 그림과 같다. $\displaystyle 0\le a\le1$ 일 때 겹치는 부분의 길이는 $\displaystyle (0,0)$ 과 $\displaystyle (4,4a)$ 사이의 거리이다. $\displaystyle 4\sqrt{1+a^2}=\frac{4\sqrt{10}}3$ 이면 $\displaystyle a=\frac13$ 이므로, $\displaystyle Y\ge\frac{4\sqrt{10}}3$ 일 확률은 $\displaystyle P\left(Y\ge\frac{4\sqrt{10}}3\right)=\int_{\frac13}^2\frac\pi4\sin\left(\frac\pi2x\right)dx$

+10점 · 구한 정적분을 계산하여 확률을 계산하였는가?

$\displaystyle =\frac\pi4\frac2\pi\Biggl[-\cos\left(\frac\pi2x\right)\Biggr]_{\frac13}^2=\frac12\left(1+\frac{\sqrt3}2\right)=\frac{2+\sqrt3}4$ [별해] $\displaystyle 1-\int_0^{\frac13}\frac\pi4\sin\left(\frac\pi2x\right)dx$ 를 구하여도 된다.

+10점 ·

\displaystyle Z

의 평균을 정적분으로 표현하였는가?

반지름이 $\displaystyle x$ 일때 영역의 넓이 : $\displaystyle \frac\pi4x^2$ $\displaystyle E(Z)=\int_0^2\left(\frac\pi4x^2\right)\left(\frac\pi4\sin\left(\frac\pi2x\right)\right)dx=\frac{\pi^2}{16}\underbrace{\int_0^2x^2\sin\left(\frac\pi2x\right)dx}_{\text{★}}$

+30점 · 구한 정적분을 계산하여 평균을 계산하였는가?

$\displaystyle \left(x^2\cos\left(\frac\pi2x\right)\right)^{\prime}=2x\cos\left(\frac\pi2x\right)-\frac\pi2x^2\sin\left(\frac\pi2x\right)$ 이므로★ = $\displaystyle \frac2\pi\left(2\int_0^2x\cos\left(\frac\pi2x\right)dx-\Biggl[x^2\cos\left(\frac\pi2x\right)\Biggr]_0^2\right)$ $\displaystyle \left(x\sin\left(\frac\pi2x\right)\right)^{\prime}=\sin\left(\frac\pi2x\right)+\frac\pi2x\cos\left(\frac\pi2x\right)$ $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^2x\cos\left(\frac\pi2x\right)dx&=\frac2\pi\left(\Biggl[x\sin\left(\frac\pi2x\right)\Biggr]_0^2-\int_0^2\sin\left(\frac\pi2x\right)dx\right)\\&=\frac2\pi\Biggl[\frac2\pi\cos\left(\frac\pi2x\right)\Biggr]_0^2=\frac4{\pi^2}(-1-1)=-\frac8{\pi^2}\end{aligned}$ ★ = $\displaystyle \frac2\pi\left(2\left(-\frac8{\pi^2}\right)+4\right)=\frac2\pi\left(4-\frac{16}{\pi^2}\right)$ ∴ $\displaystyle E(Z)=\frac{\pi^2}{16}\frac2\pi\left(4-\frac{16}{\pi^2}\right)=\frac\pi8\left(4-\frac{16}{\pi^2}\right)=\frac\pi2\left(1-\frac4{\pi^2}\right)=\frac{\pi^2-4}{2\pi}$

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