자연계열 (오후2) 1번

1.

(1) 원 위의 임의의 점 $\displaystyle P$에 대해 점 $\displaystyle X$는 항상 $\displaystyle \overline{XP}=\overline{XF}$을 만족하고 $\displaystyle \overline{OX}+\overline{XF}=\overline{OX}+\overline{XP}=\overline{OP}=6$으로 일정하므로 점 $\displaystyle X$의 자취 $\displaystyle C$는 두 점 $\displaystyle O$와 $\displaystyle F$로부터 거리의 합이 $\displaystyle 6$인 점들의 집합, 즉 타원이다.

(2) 이 타원 $\displaystyle C$는 초점이 $\displaystyle (-2,0)$과 $\displaystyle (2,0)$이고 거리의 합이 $\displaystyle 6$인 타원인 $\displaystyle \frac{x^2}9+\frac{y^2}5=1$를 $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle 2$만큼 평행 이동한 타원이므로 그 방정식은 $\displaystyle \frac{(x-2)^2}9+\frac{y^2}5=1$이다.

2.

(1) 선분 $\displaystyle QF$의 중점은 $\displaystyle \left(\frac92,\frac{\sqrt{11}}2\right)$이고 기울기는 $\displaystyle \sqrt{11}$이므로 선분 $\displaystyle QF$의 수직이등분선의 방정식은 $\displaystyle y-\frac{\sqrt{11}}2=-\frac1{\sqrt{11}}\left(x-\frac92\right)$이고 정리하면 $\displaystyle y=-\frac1{\sqrt{11}}x+\frac{10}{\sqrt{11}}$이다. 따라서 $\displaystyle a=-\frac1{\sqrt{11}},b=\frac{10}{\sqrt{11}}$이다.

(2) $\displaystyle X$의 자취인 타원 $\displaystyle C$의 방정식과 (1)에서 구한 수직이등분선의 방정식으로부터 $\displaystyle y$를 소거하면 $\displaystyle \frac{(x-2)^2}9+\frac{\left(-\frac1{\sqrt{11}}x+\frac{10}{\sqrt{11}}\right)^2}5=1$이다. 이를 정리 하면 $\displaystyle x$에 대한 이차방정식 $\displaystyle 64x^2-400x+625=0$를 얻는다. 그 판별식은 $\displaystyle D/4=200^2-64\cdot625=0$이므로 선분$\displaystyle PF$의 수직이등분선은 타원의 접선이다.Correction. 이 소문항의 결론에 쓴 선분 $\displaystyle PF$는 $\displaystyle QF$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

3.

(1) $\displaystyle \angle OPF$가 최대이면 $\displaystyle \angle OXF$도 최대이다.$\displaystyle \angle OXF=t\ (0<t<\pi),\ \overline{OX}=p,\ \overline{FX}=q$라 하면 $\displaystyle \triangle OXF$에서$\displaystyle 4^2=p^2+q^2-2pq\cos t=(p+q)^2-2pq-2pq\cos t$이고$\displaystyle p+q=6$이므로 $\displaystyle \cos t=\frac{10}{pq}-1$이다.

(2) $\displaystyle \angle OXF=t$가 최대이면 $\displaystyle \cos t=\frac{10}{pq}-1$은 최소이고 이때 $\displaystyle pq$는 최대이다. 합이 $\displaystyle 6$으로 일정한 두 양수 $\displaystyle p,q$의 곱은 $\displaystyle p=q$일 때 최대이고 이때, $\displaystyle p=q=3$이다. 따라서 $\displaystyle \angle OPF$가 최대($\displaystyle \angle OXF$가 최대)일 때, $\displaystyle \triangle OXF$는 각 변의 길이가 $\displaystyle 3,3,4$인 이등변삼각형이므로 그 넓이는 $\displaystyle 2\sqrt5$이다.