자연계열 (오후1) 1번

1.일차변환 $\displaystyle f$에 의하여 점 $\displaystyle (x,y)$가 점 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$으로 옮겨진다고 하면 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\\3y\end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle x=\frac{x^{\prime}}2,y=\frac{y^{\prime}}3$이다. 이 식을 $\displaystyle (x-1)^2+(y-2)^2=1$에 대입하면 $\displaystyle \left(\frac{x^{\prime}}2-1\right)^2+\left(\frac{y^{\prime}}3-2\right)^2=1$이 된다.

따라서 곡선 $\displaystyle A_1$은 타원이고, $\displaystyle A_1$의 방정식은$\displaystyle \frac{(x-2)^2}{2^2}+\frac{(y-6)^2}{3^2}=1$이다.

2.1번에서와 같은 방법을 반복하면 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 곡선 $\displaystyle A_n$은 타원이 되고, 그 방정식은$\displaystyle \frac{(x-2^n)^2}{(2^n)^2}+\frac{(y-2\cdot3^n)^2}{(3^n)^2}=1$이다. 제시문 <다>에 의해 타원 $\displaystyle A_n$의 넓이는 $\displaystyle \pi2^n3^n=6^n\pi$이다.

따라서$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac\pi{S_n}=\sum_{n=1}^\infty\frac\pi{6^n\pi}=\frac{1/6}{1-1/6}=\frac15$

3.일차변환 $\displaystyle f\circ g$를 나타내는 행렬은 $\displaystyle AB=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\-3&0\end{pmatrix}$이고,

점 $\displaystyle (x,y)$가 일차변환 $\displaystyle f\circ g$에 의하여 점 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$으로 옮겨진다고 하면 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\-3&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y\\-3x\end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle x=-\frac{y^{\prime}}3,y=\frac{x^{\prime}}2$이다. 이 식을 $\displaystyle (x-1)^2+(y-2)^2=1$에 대입하면 $\displaystyle \left(-\frac{y^{\prime}}3-1\right)^2+\left(\frac{x^{\prime}}2-2\right)^2=1$이 된다. 따라서 곡선 $\displaystyle B_1$은 타원이고, $\displaystyle B_1$의 방정식은$\displaystyle \frac{(x-4)^2}{2^2}+\frac{(y+3)^2}{3^2}=1$이다. 타원 $\displaystyle B_1$을 일차변환 $\displaystyle f\circ g$에 의하여 옮긴 곡선 $\displaystyle B_2$의 방정식은 $\displaystyle \frac{(-\frac y3-4)^2}{2^2}+\frac{(\frac x2+3)^2}{3^2}=1$이고, 이를 다시 정리하면$\displaystyle \frac{(x+6)^2}{2^2\cdot3^2}+\frac{(y+12)^2}{2^2\cdot3^2}=1$이 된다. 즉, 곡선 $\displaystyle B_2$는 반지름의 길이가 6인 원이 된다. 위의 과정을 반복하면 임의의 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 곡선 $\displaystyle B_{2m-1}$은 타원이 되고 곡선 $\displaystyle B_{2m}$은 원이 된다. 이 때 $\displaystyle B_{2m-1}$과 $\displaystyle B_{2m}$의 방정식은 각각$\displaystyle B_{2m-1}:\ \frac{(x-4(-6)^{m-1})^2}{2^2\cdot6^{2(m-1)}}+\frac{(y+3(-6)^{m-1})^2}{3^2\cdot6^{2(m-1)}}=1$ 과 $\displaystyle B_{2m}:\ (x-(-6)^m)^2+(y-2(-6)^m)^2=6^{2m}$이다. 따라서 타원 $\displaystyle B_{2m-1}$의 넓이 $\displaystyle S_{2m-1}$과 원 $\displaystyle B_{2m}$의 넓이 $\displaystyle S_{2m}$은 각각$\displaystyle S_{2m-1}=\pi(2\cdot6^{m-1})(3\cdot6^{m-1})=6^{2m-1}\pi$와 $\displaystyle S_{2m}=6^{2m}\pi$이다.

결국$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac\pi{S_n}=\sum_{m=1}^\infty\left(\frac\pi{S_{2m-1}}+\frac\pi{S_{2m}}\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac\pi{6^n\pi}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{6^n}=\frac{1/6}{1-1/6}=\frac15$Correction. 두 좌표변환식은 각각 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ 및 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\-3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$로 읽으면 된다. 소문항 3에서 곡선 Bₙ의 넓이는 Tₙ이므로 이 부분의 S는 T로 읽으면 된다. 이어지는 좌표 계산과 최종 급수 값 1/5에는 영향이 없다.