자연계열 (오후1) 2번

한양대 서울캠퍼스 2016학년도 수시 자연계열 (오후1) 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2016su/jayeon_pm1_2

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

중심이 점 $\displaystyle O$ 이고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 구 $\displaystyle S$ 와 $\displaystyle S$ 위에 원 $\displaystyle C$ 가 있다. 이들로부터 얻어지는 세 개의 입체 ㉮, ㉯, ㉰를 생각하자.

<가> 입체 ㉮는 원 $\displaystyle C$ 를 밑면으로 하고 점 $\displaystyle R$ 을 꼭짓점으로 하는 직원뿔이다. 입체 ㉯는 원 $\displaystyle C$ 를 따라 구 $\displaystyle S$ 를 절단하여 얻어지고, 입체 ㉰는 ㉮로부터 ㉯를 제거하여 얻어진다.

<나> 점 $\displaystyle P$ 와 $\displaystyle Q$ 는 원 $\displaystyle C$ 의 지름의 양 끝점이고, 각 $\displaystyle \angle OPR$ 과 각 $\displaystyle \angle OQR$ 은 모두 직각이다.

<다> 각 $\displaystyle \angle POQ$ 를 $\displaystyle \theta$ 라고 할 때, ㉯의 부피를 $\displaystyle A(\theta)$ , ㉰의 부피를 $\displaystyle B(\theta)$ 라고 하자.

1. $\displaystyle A\left(\frac\pi3\right)$ 를 구하시오.

2. $\displaystyle \lim_{\theta\to+0}\frac{A(\theta)}{B(\theta)}$ 를 구하시오.

3. 연속확률변수 $\displaystyle X$ 는 구간 $\displaystyle [0,\pi]$ 에서 값을 가지며 그 확률밀도함수는 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}2$ 이다. 이 때 $\displaystyle A(X)$ 의 평균을 구하시오.

해설강의 준비중

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+20점 · 부피를 정적분으로 표현할 수 있는가?

입체 ㉯는 반지름이 $\displaystyle r$ 인 원호를 회전하여 얻어지는 입체이므로 $\displaystyle A(\theta)=\int_{r\cos\frac\theta2}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2dx=\pi\int_{r\cos\frac\theta2}^r(r^2-x^2)dx$

+10점 · 표현된 정적분을 계산할 수 있는가?

$\displaystyle \begin{aligned}&=\pi\Biggl[r^2x-\frac{x^3}3\Biggr]_{r\cos\frac\theta2}^r=\pi r^3\left(1-\frac13-\cos\frac\theta2+\frac13\cos^3\frac\theta2\right)\\&=\frac{\pi r^3}3\left(2-3\cos\frac\theta2+\cos^3\frac\theta2\right)\end{aligned}$ ∴ $\displaystyle A\left(\frac\pi3\right)=\frac{\pi r^3}3\left(2-3\frac{\sqrt3}2+\frac{3\sqrt3}8\right)=\frac{\pi r^3}3\frac{16-12\sqrt3+3\sqrt3}8=\frac{\pi r^3(16-9\sqrt3)}{24}$

+10점 · 입체[가] 또는 [다] 어느 하나의 부피를 유도하였는가?

원뿔 ㉮의 부피를 구하자. $\displaystyle \frac ar=\tan\frac\theta2$ 원 $\displaystyle C$ 의 반지름 $\displaystyle =r\sin\frac\theta2$ 원뿔의 높이 $\displaystyle =a\cos\left(\frac\pi2-\frac\theta2\right)=r\tan\frac\theta2\cos\left(\frac\pi2-\frac\theta2\right)=r\tan\frac\theta2\sin\frac\theta2$ ∴ 원뿔의 부피 $\displaystyle =\frac13\pi r^2\sin^2\frac\theta2r\tan\frac\theta2\sin\frac\theta2=\frac\pi3r^3\sin^3\frac\theta2\tan\frac\theta2$ ∴ $\displaystyle B(\theta)=\frac{\pi r^3}3\left(\sin^3\frac\theta2\tan\frac\theta2-2+3\cos\frac\theta2-\cos^3\frac\theta2\right)$

+20점 ·

\displaystyle \frac{A(\theta)}{B(\theta)}

의 극한을 구하였는가?

편의상 $\displaystyle s=\sin\frac\theta2$ , $\displaystyle c=\cos\frac\theta2$ 로 쓰자. $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\theta\to+0}\frac{A(\theta)}{B(\theta)}&=\lim_{c\to1+0}\frac{2-3c+c^3}{\frac{s^4}c-2+3c-c^3}=\lim_{c\to1+0}\frac{2c-3c^2+c^4}{(1-c^2)^2-2c+3c^2-c^4}\\&=\lim_{c\to1+0}\frac{2c-3c^2+c^4}{c^2-2c+1}=\lim_{c\to1+0}\frac{c(c-1)^2(c+2)}{(c-1)^2}=3\end{aligned}$ Correction. $\displaystyle c=\cos(\theta/2)$ 는 $\displaystyle 1$ 보다 작은 값으로 접근하므로 $\displaystyle c\to1+0$ 는 $\displaystyle c\to1-0$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+20점 · 평균을 정적분의 수식으로 표현하였는가?

3. $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}2=\sin\frac x2\cos\frac x2$ $\displaystyle A(X)$ 의 평균 $\displaystyle =\int_0^\pi f(x)A(x)dx=\frac{\pi r^3}3\int_0^\pi\sin\frac x2\cos\frac x2\left(2-3\cos\frac x2+\cos^3\frac x2\right)dx$ $\displaystyle =\frac{\pi r^3}3\int_0^\pi\left(2\sin\frac x2\cos\frac x2-3\sin\frac x2\cos^2\frac x2+\sin\frac x2\cos^4\frac x2\right)dx$

+20점 · 그 정적분을 계산하여 평균을 구하였는가?

정적분의 첫 번째 항 $\displaystyle =\int_0^\pi\sin x\,dx=2$ $\displaystyle \cos\frac x2=t\ \Rightarrow\ -\frac12\sin\frac x2dx=dt\qquad\sin\frac x2dx=-2dt$ 정적분의 나머지 항 $\displaystyle =\int_1^0 6t^2-2t^4dt=\int_0^1 2t^4-6t^2dt=\Biggl[\frac25t^5-2t^3\Biggr]_0^1=\frac25-2=\frac{-8}5$ ∴ $\displaystyle A(X)$ 의 평균 $\displaystyle =\frac{\pi r^3}3\left(2-\frac85\right)=\frac2{15}\pi r^3$

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