자연계열 (오후1) 2번

1.

입체 ㉯는 반지름이 $\displaystyle r$인 원호를 회전하여 얻어지는 입체이므로$\displaystyle A(\theta)=\int_{r\cos\frac\theta2}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2dx=\pi\int_{r\cos\frac\theta2}^r(r^2-x^2)dx$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\pi\Biggl[r^2x-\frac{x^3}3\Biggr]_{r\cos\frac\theta2}^r=\pi r^3\left(1-\frac13-\cos\frac\theta2+\frac13\cos^3\frac\theta2\right)\\&=\frac{\pi r^3}3\left(2-3\cos\frac\theta2+\cos^3\frac\theta2\right)\end{aligned}$∴ $\displaystyle A\left(\frac\pi3\right)=\frac{\pi r^3}3\left(2-3\frac{\sqrt3}2+\frac{3\sqrt3}8\right)=\frac{\pi r^3}3\frac{16-12\sqrt3+3\sqrt3}8=\frac{\pi r^3(16-9\sqrt3)}{24}$

2.

원뿔 ㉮의 부피를 구하자.$\displaystyle \frac ar=\tan\frac\theta2$원 $\displaystyle C$의 반지름$\displaystyle =r\sin\frac\theta2$원뿔의 높이$\displaystyle =a\cos\left(\frac\pi2-\frac\theta2\right)=r\tan\frac\theta2\cos\left(\frac\pi2-\frac\theta2\right)=r\tan\frac\theta2\sin\frac\theta2$∴ 원뿔의 부피$\displaystyle =\frac13\pi r^2\sin^2\frac\theta2r\tan\frac\theta2\sin\frac\theta2=\frac\pi3r^3\sin^3\frac\theta2\tan\frac\theta2$∴ $\displaystyle B(\theta)=\frac{\pi r^3}3\left(\sin^3\frac\theta2\tan\frac\theta2-2+3\cos\frac\theta2-\cos^3\frac\theta2\right)$

편의상 $\displaystyle s=\sin\frac\theta2$, $\displaystyle c=\cos\frac\theta2$로 쓰자.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\theta\to+0}\frac{A(\theta)}{B(\theta)}&=\lim_{c\to1+0}\frac{2-3c+c^3}{\frac{s^4}c-2+3c-c^3}=\lim_{c\to1+0}\frac{2c-3c^2+c^4}{(1-c^2)^2-2c+3c^2-c^4}\\&=\lim_{c\to1+0}\frac{2c-3c^2+c^4}{c^2-2c+1}=\lim_{c\to1+0}\frac{c(c-1)^2(c+2)}{(c-1)^2}=3\end{aligned}$Caution. 치환할 때는 새 변수의 범위를 확인해야 한다: $\displaystyle \theta\to+0$일 때 $\displaystyle c=\cos\frac\theta2$는 $\displaystyle 1$보다 작은 값으로 $\displaystyle 1$에 가까워진다. 따라서 $\displaystyle c\to1-0$으로 써야 하며, 대학 해설에 반복되는 $\displaystyle c\to1+0$은 접근 방향이 뒤바뀌어 있다. 이 문제에서는 정리한 식 $\displaystyle c(c+2)$의 극한이 $\displaystyle 3$이므로 최종값에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

3.$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}2=\sin\frac x2\cos\frac x2$$\displaystyle A(X)$의 평균$\displaystyle =\int_0^\pi f(x)A(x)dx=\frac{\pi r^3}3\int_0^\pi\sin\frac x2\cos\frac x2\left(2-3\cos\frac x2+\cos^3\frac x2\right)dx$$\displaystyle =\frac{\pi r^3}3\int_0^\pi\left(2\sin\frac x2\cos\frac x2-3\sin\frac x2\cos^2\frac x2+\sin\frac x2\cos^4\frac x2\right)dx$

정적분의 첫 번째 항$\displaystyle =\int_0^\pi\sin x\,dx=2$$\displaystyle \cos\frac x2=t\ \Rightarrow\ -\frac12\sin\frac x2dx=dt\qquad\sin\frac x2dx=-2dt$정적분의 나머지 항$\displaystyle =\int_1^0 6t^2-2t^4dt=\int_0^1 2t^4-6t^2dt=\Biggl[\frac25t^5-2t^3\Biggr]_0^1=\frac25-2=\frac{-8}5$∴ $\displaystyle A(X)$의 평균 $\displaystyle =\frac{\pi r^3}3\left(2-\frac85\right)=\frac2{15}\pi r^3$