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상경계열 2번

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한양대 서울캠퍼스 2016학년도 수시 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2016su/sanggyeong_2

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문제

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

<가> 사차함수 f(x)=3x4+8ax3+6(a2+3a)x2+36a2x+b\displaystyle f(x)=3x^4+8ax^3+6(a^2+3a)x^2+36a^2x+b가 주어져 있다 (단, a,b\displaystyle a,b는 상수이다).

<나> 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 역함수 y=h(x)\displaystyle y=h(x)가 존재할 때, y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프와 y=h(x)\displaystyle y=h(x)의 그래프는 직선 y=x\displaystyle y=x에 대하여 대칭이다.

1. 열린구간 (−1,∞)\displaystyle (-1,\infty)의 모든 점에서 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0을 만족하는 가장 작은 실수 a\displaystyle a를 구하시오.

2. a=−1,b=12\displaystyle a=-1,b=12일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)위의 점 (2,f(2))\displaystyle (2,f(2))에서의 접선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)가 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 서로 다른 세 점에서 만난다. 이 세 점 중 점 (2,f(2))\displaystyle (2,f(2))가 아닌 두 점을 (c,f(c)),(d,f(d))\displaystyle (c,f(c)),(d,f(d))라고 하자 (단, c<d\displaystyle c<d). 이 때 c\displaystyle c보다 작지 않은 최소의 정수 m\displaystyle m과 d\displaystyle d보다 크지 않은 최대의 정수 n\displaystyle n에 대하여, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 세 직선 y=g(x),x=m,x=n\displaystyle y=g(x),x=m,x=n으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

3. a=1,b=16\displaystyle a=1,b=16일 때, 구간 [s,∞)\displaystyle [s,\infty)에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수 h(x)\displaystyle h(x)가 존재하도록 하는 가장 작은 s\displaystyle s를 구하시오.이 때 정적분 ∫s16h(x) dx\displaystyle \int_s^{16}h(x)\,dx를 구하시오.

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2016학년도 수시 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2016su/sanggyeong_2

1.f′(x)=12(x3+2ax2+(a2+3a)x+3a2)=12(x+a)(x2+ax+3a)\displaystyle f^{\prime}(x)=12(x^3+2ax^2+(a^2+3a)x+3a^2)=12(x+a)(x^2+ax+3a)이므로 a2−12a>0\displaystyle a^2-12a>0이면 그 실근은 −a, −a±a2−12a2\displaystyle -a,\ \frac{-a\pm\sqrt{a^2-12a}}2이고 x=−a, −a±a2−12a2\displaystyle x=-a,\ \frac{-a\pm\sqrt{a^2-12a}}2에서 극값을 갖는다.a<0\displaystyle a<0인 경우 x\displaystyle x가 열린구간 (−a,−a+a2−12a2)\displaystyle \left(-a,\frac{-a+\sqrt{a^2-12a}}2\right)에 있으면 f′(x)<0\displaystyle f^{\prime}(x)<0가 된다.a=0\displaystyle a=0인 경우 x\displaystyle x가 열린구간 (−1,0)\displaystyle (-1,0)에 있으면 f′(x)<0\displaystyle f^{\prime}(x)<0가 된다.0<a<12\displaystyle 0<a<12인 경우 실근은 −a\displaystyle -a이며 −a≤−1\displaystyle -a\le-1이면 x\displaystyle x가 열린구간 (−1,∞)\displaystyle (-1,\infty)에 있으면 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0가 되므로, 이 경우 1≤a<12\displaystyle 1\le a<12이고 가장 작은 실수는 a=1\displaystyle a=1이다.

2.a=−1,b=12\displaystyle a=-1,b=12일 때,f(x)=3x4−8x3−12x2+36x+12\displaystyle f(x)=3x^4-8x^3-12x^2+36x+12이고 f′(x)=12(x−1)(x2−x−3)\displaystyle f^{\prime}(x)=12(x-1)(x^2-x-3)이므로 f′(2)=−12\displaystyle f^{\prime}(2)=-12이고, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (2,f(2))\displaystyle (2,f(2))에서 접선의 식은 g(x)=−12x+44\displaystyle g(x)=-12x+44이다.만나는 점에 대한 c,d\displaystyle c,d는 f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)의 해이다.방정식 f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)로부터 F(x)=f(x)−g(x)=3x4−8x3−12x2+48x−32=0\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)=3x^4-8x^3-12x^2+48x-32=0의 해를 구하면 된다.F′(x)=12(x−2)(x2−2)\displaystyle F^{\prime}(x)=12(x-2)(x^2-2)이므로 x=−2\displaystyle x=-\sqrt2에서 극솟값 F(−2)=−322−44\displaystyle F(-\sqrt2)=-32\sqrt2-44, x=2\displaystyle x=\sqrt2에서 극댓값 F(2)=322−44\displaystyle F(\sqrt2)=32\sqrt2-44, x=2\displaystyle x=2에서 극솟값 F(2)=0\displaystyle F(2)=0을 갖는다.F(−3)=175, F(−2)=−64, F(1)=−1, F(2)>0\displaystyle F(-3)=175,\ F(-2)=-64,\ F(1)=-1,\ F(\sqrt2)>0이므로 구하고자 하는 정수는 m=−2,n=1\displaystyle m=-2,n=1이다.따라서 넓이는 ∫−21(−F(x))dx=−35x5+2x4+4x3−24x2+32x∣−21=174−995=154+15=7715\displaystyle \int_{-2}^1(-F(x))dx=\left.-\frac35x^5+2x^4+4x^3-24x^2+32x\right|_{-2}^1=174-\frac{99}5=154+\frac15=\frac{771}5가 된다.

3.a=1,b=16\displaystyle a=1,b=16일 때는 함수 f(x)=3x4+8x3+24x2+36x+16\displaystyle f(x)=3x^4+8x^3+24x^2+36x+16이며f′(x)=12x3+24x2+48x+36=12(x+1)(x2+x+3)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=12x^3+24x^2+48x+36=12(x+1)(x^2+x+3)=0이므로x=−1\displaystyle x=-1에서 극값이 하나 존재하며,f(−1)=−1\displaystyle f(-1)=-1이고 구간 (−1,∞)\displaystyle (-1,\infty)에서는 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이므로 [−1,∞)\displaystyle [-1,\infty)에서는 역함수 h(x)\displaystyle h(x)가 존재하고 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 그래프는 점 (−1,−1),(0,16)\displaystyle (-1,-1),(0,16)을 지난다. 따라서 s=−1\displaystyle s=-1이다.∫s16h(x) dx=∫−116h(x) dx=∫−10(−(f(x)+1))dx=−(35x5+2x4+8x3+18x2+16x+x)∣−10=−285\displaystyle \int_s^{16}h(x)\,dx=\int_{-1}^{16}h(x)\,dx=\int_{-1}^0(-(f(x)+1))dx=-\left.\left(\frac35x^5+2x^4+8x^3+18x^2+16x+x\right)\right|_{-1}^0=-\frac{28}5이다.

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