상경계열 2번

1.$\displaystyle f^{\prime}(x)=12(x^3+2ax^2+(a^2+3a)x+3a^2)=12(x+a)(x^2+ax+3a)$이므로 $\displaystyle a^2-12a>0$이면 그 실근은 $\displaystyle -a,\ \frac{-a\pm\sqrt{a^2-12a}}2$이고 $\displaystyle x=-a,\ \frac{-a\pm\sqrt{a^2-12a}}2$에서 극값을 갖는다.$\displaystyle a<0$인 경우 $\displaystyle x$가 열린구간 $\displaystyle \left(-a,\frac{-a+\sqrt{a^2-12a}}2\right)$에 있으면 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$가 된다.$\displaystyle a=0$인 경우 $\displaystyle x$가 열린구간 $\displaystyle (-1,0)$에 있으면 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$가 된다.$\displaystyle 0<a<12$인 경우 실근은 $\displaystyle -a$이며 $\displaystyle -a\le-1$이면 $\displaystyle x$가 열린구간 $\displaystyle (-1,\infty)$에 있으면 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$가 되므로, 이 경우 $\displaystyle 1\le a<12$이고 가장 작은 실수는 $\displaystyle a=1$이다.

2.$\displaystyle a=-1,b=12$일 때,$\displaystyle f(x)=3x^4-8x^3-12x^2+36x+12$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=12(x-1)(x^2-x-3)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(2)=-12$이고, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (2,f(2))$에서 접선의 식은 $\displaystyle g(x)=-12x+44$이다.만나는 점에 대한 $\displaystyle c,d$는 $\displaystyle f(x)=g(x)$의 해이다.방정식 $\displaystyle f(x)=g(x)$로부터 $\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)=3x^4-8x^3-12x^2+48x-32=0$의 해를 구하면 된다.$\displaystyle F^{\prime}(x)=12(x-2)(x^2-2)$이므로 $\displaystyle x=-\sqrt2$에서 극솟값 $\displaystyle F(-\sqrt2)=-32\sqrt2-44$, $\displaystyle x=\sqrt2$에서 극댓값 $\displaystyle F(\sqrt2)=32\sqrt2-44$, $\displaystyle x=2$에서 극솟값 $\displaystyle F(2)=0$을 갖는다.$\displaystyle F(-3)=175,\ F(-2)=-64,\ F(1)=-1,\ F(\sqrt2)>0$이므로 구하고자 하는 정수는 $\displaystyle m=-2,n=1$이다.따라서 넓이는 $\displaystyle \int_{-2}^1(-F(x))dx=\left.-\frac35x^5+2x^4+4x^3-24x^2+32x\right|_{-2}^1=174-\frac{99}5=154+\frac15=\frac{771}5$가 된다.

3.$\displaystyle a=1,b=16$일 때는 함수 $\displaystyle f(x)=3x^4+8x^3+24x^2+36x+16$이며$\displaystyle f^{\prime}(x)=12x^3+24x^2+48x+36=12(x+1)(x^2+x+3)=0$이므로$\displaystyle x=-1$에서 극값이 하나 존재하며,$\displaystyle f(-1)=-1$이고 구간 $\displaystyle (-1,\infty)$에서는 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle [-1,\infty)$에서는 역함수 $\displaystyle h(x)$가 존재하고 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 점 $\displaystyle (-1,-1),(0,16)$을 지난다. 따라서 $\displaystyle s=-1$이다.$\displaystyle \int_s^{16}h(x)\,dx=\int_{-1}^{16}h(x)\,dx=\int_{-1}^0(-(f(x)+1))dx=-\left.\left(\frac35x^5+2x^4+8x^3+18x^2+16x+x\right)\right|_{-1}^0=-\frac{28}5$이다.