자연계열 (오후2) 2번

1. 제시문에서 주어진 함수 $\displaystyle f(x)$를 적분하면,$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\int_0^x\cos^2t\,dt+\int_0^{2\pi-x}\sin^2t\,dt=\int_0^x\frac{\cos2t+1}2dt+\int_0^{2\pi-x}\frac{1-\cos2t}2dt\\&=\frac12\Biggl[\frac12\sin2t+t\Biggr]_0^x+\frac12\Biggl[t-\frac12\sin2t\Biggr]_0^{2\pi-x}=\frac12\sin2x+\pi\end{aligned}$이므로, 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle a=\frac12+\pi$이다.

제시문에서 주어진 함수 $\displaystyle g(x)$를 미분하면,$\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(x)&=\sqrt{1-\sin^2x}\cos x+\sqrt{1-\cos^2x}(-\sin x)\\&=|\cos x|\cos x-|\sin x|\sin x=\cos^2x-\sin^2x=\cos2x\end{aligned}$이므로, $\displaystyle g(x)=\frac12\sin2x+C=\frac12\sin2x+\frac\pi4$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)$의 최댓값은 $\displaystyle b=\frac12+\frac\pi4$이다.(※ $\displaystyle C=g(0)=\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt=\frac\pi4$)그러므로 $\displaystyle a-b=\frac34\pi$이다.

먼저 부피 $\displaystyle V_1$을 구하면,$\displaystyle \begin{aligned}V_1&=\pi\int_0^\pi f(x)^2dx=\pi\int_0^\pi\left(\frac12\sin2x+\pi\right)^2dx\\&=\pi\int_0^\pi\left(\frac14\sin^22x+\pi\sin2x+\pi^2\right)dx=\pi\int_0^\pi\left(\frac14\frac{1-\cos4x}2+\pi\sin2x+\pi^2\right)dx\\&=\pi\left(\Biggl[\frac18\left(x-\frac14\sin4x\right)\Biggr]_0^\pi-\Biggl[\frac\pi2\cos2x\Biggr]_0^\pi+\Biggl[\pi^2x\Biggr]_0^\pi\right)\\&=\frac{\pi^2}8+\pi^4\end{aligned}$

이고, $\displaystyle V_2=\pi\int_0^{\frac\pi2}g(x)^2dx=\pi\int_0^{\frac\pi2}\frac14\sin^22x\,dx=\frac\pi4\int_0^{\frac\pi2}\frac{1-\cos4x}2dx=\frac\pi4\Biggl[\frac12\left(x-\frac14\sin4x\right)\Biggr]_0^{\frac\pi2}=\frac{\pi^2}{16}$이다.Comment. 부피를 구하는 첫 적분의 $\displaystyle g(x)^2$는 $\displaystyle (g(x)-\pi/4)^2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로, $\displaystyle V=V_1-V_2=\left(\frac{\pi^2}8+\pi^4\right)-\frac{\pi^2}{16}=\frac{\pi^2}{16}+\pi^4$이다.

3. $\displaystyle g^{\prime}(x)=|\cos x|\cos x-|\sin x|\sin x$이므로,① $\displaystyle 0\le x\le\frac\pi2$인 경우는 문항1에서 $\displaystyle g(x)=\frac12\sin2x+\frac\pi4$임을 알 수 있다.② $\displaystyle \frac\pi2\le x\le\pi$인 경우는 문항2에서 $\displaystyle g(x)=-x+\frac34\pi$임을 알 수 있다.③ $\displaystyle \pi\le x\le\frac32\pi$인 경우$\displaystyle g^{\prime}(x)=-\cos^2x+\sin^2x=-\cos2x$이므로, $\displaystyle g(x)=-\frac12\sin2x+C=-\frac12\sin2x-\frac\pi4$이다.(※ $\displaystyle g(\pi)=\int_0^{-1}\sqrt{1-t^2}\,dt=-\frac\pi4=C$)④ $\displaystyle \frac32\pi\le x\le2\pi$인 경우$\displaystyle g^{\prime}(x)=\cos^2x+\sin^2x=1$이므로, $\displaystyle g(x)=x+C=x-\frac74\pi$이다.(※ $\displaystyle g(2\pi)=\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt=\frac\pi4=2\pi+C,\ C=-\frac74\pi$)

$\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_0^{\frac\pi2}\left(\frac12\sin2x+\frac\pi4-\frac\pi4\right)dx+\int_{\frac\pi2}^\pi\left(\frac\pi4-\left(-x+\frac34\pi\right)\right)dx\\&\quad+\int_\pi^{\frac32\pi}\left(\frac\pi4-\left(-\frac12\sin2x-\frac\pi4\right)\right.dx+\int_{\frac32\pi}^{2\pi}\left(\frac\pi4-\left(x-\frac74\pi\right)\right)dx\\&=\int_0^{\frac\pi2}\left(\frac12\sin2x\right)dx+\int_{\frac\pi2}^\pi\left(x-\frac\pi2\right)dx+\int_\pi^{\frac32\pi}\left(\frac12\sin2x+\frac\pi2\right)dx+\int_{\frac32\pi}^{2\pi}(2\pi-x)dx\\&=\Biggl[-\frac14\cos2x\Biggr]_0^{\frac\pi2}+\Biggl[\frac12x^2-\frac\pi2x\Biggr]_{\frac\pi2}^\pi+\Biggl[-\frac14\cos2x+\frac\pi2x\Biggr]_\pi^{\frac32\pi}+\Biggl[2\pi x-\frac12x^2\Biggr]_{\frac32\pi}^{2\pi}\\&=1+\frac12\pi^2\end{aligned}$