자연계열 (오전) 1번

1.$\displaystyle f(x)=\int_0^x\frac{\ln(t+1)+a}{t+1}\,dt=\int_a^{\ln(x+1)+a}s\,ds=\Biggl[\frac12s^2\Biggr]_a^{\ln(x+1)+a}=\frac12(\ln(x+1)+a)^2-\frac12a^2\ge-\frac12a^2$이고, $\displaystyle x=e^{-a}-1$에서 최소값 $\displaystyle -\frac12a^2$을 갖는다.따라서 $\displaystyle a=1$이고, $\displaystyle f(x)=\frac12[\ln(x+1)]^2+\ln(x+1)$이다.

$\displaystyle f(x)$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln(x+1)\frac1{x+1}+\frac1{x+1}=\frac{\ln(x+1)+1}{x+1}$이다.정적분 $\displaystyle \int_0^{e^2-1}\frac{[\ln(x+1)+1][f(x)]^3}{x+1}\,dx$을 구하기 위하여 $\displaystyle f(x)=t$로 치환하여 적분하면,$\displaystyle \int_0^{e^2-1}\frac{[\ln(x+1)+1][f(x)]^3}{x+1}\,dx=\int_0^4t^3\,dt=\Biggl[\frac14t^4\Biggr]_0^4=4^3=64$이다.

2. $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle x$축과의 교점을 구하면,$\displaystyle f(x)=0\ \Rightarrow\ \frac12(\ln(x+1))^2+\ln(x+1)=0\ \Rightarrow\ \ln(x+1)=0\ \text{or}\ -2\ \Rightarrow\ x=0\ \text{or}\ x=e^{-2}-1$따라서 구하고자 하는 정적분은 다음과 같이 나눌 수 있다.$\displaystyle \int_{e^{-3}-1}^0|f(x)|\,dx=\int_{e^{-3}-1}^{e^{-2}-1}f(x)\,dx-\int_{e^{-2}-1}^0f(x)\,dx$ ---------------- ①우선 $\displaystyle f(x)$의 부정적분을 구하면,$\displaystyle \begin{aligned}\int f(x)\,dx&=\int\left[\frac12(\ln(x+1))^2+\ln(x+1)\right]\,dx=\frac12\int(\ln(x+1))^2\,dx+\int\ln(x+1)\,dx\\&=\frac12\left[(x+1)(\ln(x+1))^2-\int(x+1)2\ln(x+1)\frac1{x+1}\,dx\right]+\int\ln(x+1)\,dx\\&=\frac12(x+1)(\ln(x+1))^2.\end{aligned}$

등식 ①의 오른쪽 첫 번째 적분을 구하면,$\displaystyle \begin{aligned}\int_{e^{-3}-1}^{e^{-2}-1}f(x)\,dx&=\frac12(x+1)\Biggl[(\ln(x+1))^2\Biggr]_{e^{-3}-1}^{e^{-2}-1}=\frac12e^{-2}(-2)^2-\frac12e^{-3}(-3)^2\\&=2e^{-2}-\frac92e^{-3}.\end{aligned}$등식 ①의 오른쪽 두 번째 적분을 구하면,$\displaystyle \int_{e^{-2}-1}^0f(x)\,dx=\Biggl[\frac12(x+1)[\ln(x+1)]^2\Biggr]_{e^{-2}-1}^0=0-\frac12e^{-2}\times(-2)^2=-2e^{-2}.$그러므로 구하는 정적분은 $\displaystyle \int_{e^{-3}-1}^0|f(x)|\,dx=4e^{-2}-\frac92e^{-3}$이다.

3. $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\ln(x+1)+1}{x+1}$이고, 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{-\ln(x+1)}{(x+1)^2}<0$이다.그러므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 감소함수이다. 평균값 정리에 의해 아래의 ①과 ②가 성립한다.① $\displaystyle \frac1x$과 $\displaystyle \frac2x$사이에 $\displaystyle c_1$이 존재하여 $\displaystyle f^{\prime}(c_1)=\frac{f\left(\frac2x\right)-f\left(\frac1x\right)}{\frac2x-\frac1x}=x\left[f\left(\frac2x\right)-f\left(\frac1x\right)\right]$을 만족한다.② $\displaystyle \frac2x$와 $\displaystyle \frac3x$사이에 $\displaystyle c_2$가 존재하여 $\displaystyle f^{\prime}(c_2)=\frac{f\left(\frac3x\right)-f\left(\frac2x\right)}{\frac3x-\frac2x}=x\left[f\left(\frac3x\right)-f\left(\frac2x\right)\right]$을 만족한다.

$\displaystyle x>0$에서 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 감소함수이고 $\displaystyle c_1<c_2$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(c_1)>f^{\prime}(c_2)$이다.따라서 $\displaystyle x\left[f\left(\frac2x\right)-f\left(\frac1x\right)\right]>x\left[f\left(\frac3x\right)-f\left(\frac2x\right)\right]$이고 $\displaystyle x>0$이므로,$\displaystyle f\left(\frac2x\right)-f\left(\frac1x\right)>f\left(\frac3x\right)-f\left(\frac2x\right)$이다.그러므로 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식 $\displaystyle 2f\left(\frac2x\right)>f\left(\frac1x\right)+f\left(\frac3x\right)$이 성립한다.