자연계열 (오후1) 1번

1. (가)에서 $\displaystyle x=y=8$라면 $\displaystyle g(0)=g(8-8)=g(8)^2+f(8)^2=1.$

한편 $\displaystyle x=y=0$이면 $\displaystyle 1=g(0)=g(0)^2+f(0)^2=1+f(0)^2$이므로 $\displaystyle f(0)=0$이다.

2. 먼저 $\displaystyle g(8-x)=g(8)g(x)+f(8)f(x)=f(x)$이고$\displaystyle f(8-x)=g(8-(8-x))=g(x)$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}f(x+y)&=g(8-(x+y))=g((8-x)-y)\\&=g(8-x)g(y)+f(8-x)f(y)\\&=f(x)g(y)+g(x)f(y).\end{aligned}$

3. 먼저 $\displaystyle \frac\pi{16}=f^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}h$이고$\displaystyle 0=g^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\frac{g(h)-g(0)}h=\lim_{h\to0}\frac{g(h)-1}h$이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}h=\lim_{h\to0}\frac{g(x)g(-h)+f(x)f(-h)-g(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{g(x)(g(-h)-1)+f(x)f(-h)}h=-g^{\prime}(0)g(x)-f^{\prime}(0)f(x)=-\frac\pi{16}f(x)\end{aligned}$이다. 즉 함수 $\displaystyle g(x)$는 모든 실수에서 미분가능한 함수이다.

한편 $\displaystyle g(x)=t$라 치환하면 $\displaystyle \frac d{dt}g(x)=g^{\prime}(x)\frac{dx}{dt}=-\frac\pi{16}f(x)\frac{dx}{dt}=1$이고 $\displaystyle g(0)=1,g(8)=0$이므로$\displaystyle \int_0^8f(x)g(x)^2e^{g(x)+1}\,dx=\frac{16}\pi\int_0^1t^2e^{t+1}\,dt=\frac{16}\pi\Biggl[(t^2-2t+2)e^{t+1}\Biggr]_0^1=\frac{16}\pi(e^2-2e).$위의 식에서 두 번째 등호는 다음 부정적분으로 알 수 있다.$\displaystyle \int t^2e^{t+1}\,dt=t^2e^{t+1}-2\int te^{t+1}\,dt=t^2e^{t+1}-2\left(te^{t+1}-\int e^{t+1}\,dt\right)=(t^2-2t+2)e^{t+1}.$