자연계열 (오전) 2번

1.

주어진 원의 방정식: $\displaystyle (x-r)^2+(y-r)^2=r^2$$\displaystyle y=ax$와의 교점의 방정식 :$\displaystyle (x-r)^2+(ax-r)^2=r^2$, 즉 $\displaystyle (a^2+1)x^2-2r(a+1)x+r^2=0$$\displaystyle f(a)=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(x_1-x_2)^2+(ax_1-ax_2)^2=(a^2+1)(x_1-x_2)^2=4r^2\frac{2a}{a^2+1}$

$\displaystyle \int_0^1f(a)\,da=\int_0^14r^2\frac{2a}{a^2+1}\,da=\Biggl[4r^2\ln(a^2+1)\Biggr]_0^1=4r^2\ln2$

2.

$\displaystyle \frac1{100}\sum_{k=1}^{100}f\left(\frac{100-k}{100}\right)=\sum_{k=0}^{99}f\left(\frac{k}{100}\right)\frac1{100}$는 위 그림과 같이, 높이가 $\displaystyle f\left(\frac{k}{100}\right)$, 밑변의 길이가 $\displaystyle \frac1{100}$인 사각형의 넓이들의 합이고,$\displaystyle \int_0^1f(a)\,da$는 $\displaystyle x$축, $\displaystyle x=1$ 그리고 $\displaystyle y=f(a)$로 둘러싸인 영역의 넓이다.

$\displaystyle f$는 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle f^{\prime}(a)=8r^2\frac{1-a^2}{(a^2+1)^2}>0$ $\displaystyle (0<a<1)$이므로 증가함수이다.따라서 $\displaystyle \int_0^1f(a)\,da>\frac1{100}\sum_{k=1}^{100}f\left(\frac{100-k}{100}\right)$가 성립한다.(또는 위 1의 그림과 같이 $\displaystyle a$값이 증가함에 따라 원과 직선과의 교선의 길이가 증가함을 그림을 통해 알 수 있다)

3.

주어진 직선 위의 점의 좌표는 $\displaystyle (t,bt,bt)$로 나타내어지는데원뿔은 $\displaystyle x$좌표가 양인 부분에 있으므로 $\displaystyle t>0$이다.직선이 원뿔의 표면과 만나는 점을 $\displaystyle (t,bt,bt)$라 하고,이 교점과 원뿔의 꼭지점 그리고 밑면의 중심점을 포함하는 평면을 생각하면,그림의 삼각형으로부터 세 점의 위치관계를 다음과 같이 얻을 수 있다.즉, 교점 $\displaystyle (t,bt,bt)$으로부터 점 $\displaystyle (c,0,bt)$까지의 거리의 제곱은 $\displaystyle (t-c)^2+(bt-0)^2=(1-bt)^2$,이를 $\displaystyle t$에 대한 2차식으로 정리하면 $\displaystyle t^2+2(b-c)t+c^2-1=0$이다.$\displaystyle t$에 대한 위의 방정식이 근을 가질 조건을 판별식으로 구하면,$\displaystyle (b-c)^2-(c^2-1)\ge0$, 즉 $\displaystyle b\ge c+\sqrt{c^2-1}$ 또는 $\displaystyle b\le c-\sqrt{c^2-1}$이다.

이 중 직선이 실제로 원뿔을 만나는 경우는 $\displaystyle b\le c-\sqrt{c^2-1}$.이 경우 해는 $\displaystyle t=-(b-c)\pm\sqrt{(b-c)^2-(c^2-1)}$, 즉 $\displaystyle t=-(b-c)\pm\sqrt{b^2-2bc+1}$이므로,선분 길이의 제곱값은$\displaystyle \begin{aligned}(g(b))^2&=(t_2-t_1)^2+(bt_2-bt_1)^2+(bt_2-bt_1)^2\\&=(2b^2+1)(t_2-t_1)^2\\&=(2b^2+1)\cdot4\cdot(b^2-2bc+1)\\&=4(2b^2+1)(b^2-2bc+1)\end{aligned}$

따라서 문제에 대한 답은,$\displaystyle 0\le b<c-\sqrt{c^2-1}$일 때, $\displaystyle g(b)=2\sqrt{(2b^2+1)(b^2-2bc+1)}$$\displaystyle b\ge c-\sqrt{c^2-1}$일 때, $\displaystyle g(b)=0$