자연계열 (오후2) 2번

1.포물선 $\displaystyle A$의 한 점을 $\displaystyle \mathrm Q(x,x^2)$이라고 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(x-\sqrt3)^2+(x^2-3)^2}$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=2\sqrt3$이면 $\displaystyle (x-\sqrt3)^2+(x^2-3)^2=12$이고,

이를 정리하면 $\displaystyle x(x+\sqrt3)\left(x-\frac{\sqrt3+\sqrt{11}}2\right)\left(x-\frac{\sqrt3-\sqrt{11}}2\right)=0$이므로,$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=2\sqrt3$인 $\displaystyle A$의 점 Q는 모두 4개이고 각각의 좌표는$\displaystyle (0,0),\quad(-\sqrt3,3),\quad\left(\frac{\sqrt3+\sqrt{11}}2,\frac{7+\sqrt{33}}2\right),\quad\left(\frac{\sqrt3-\sqrt{11}}2,\frac{7-\sqrt{33}}2\right)$이다.(아래 그림 참조.)

2.점 $\displaystyle \mathrm P(a,a^2)$와 포물선 $\displaystyle A$의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm Q(x,x^2)$와의 거리는 $\displaystyle \sqrt{(x-a)^2+(x^2-a^2)^2}$이다.$\displaystyle f(x)=(x-a)^2+(x^2-a^2)^2$이라 하면, 양의 실수 $\displaystyle r$에 대해, 점 P와 거리 $\displaystyle r$인 $\displaystyle A$의 점들의 개수는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=r^2$의 교점의 개수와 일치한다.

곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 개형을 알아보기 위해 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 실근의 개수를 구해보자.$\displaystyle f^{\prime}(x)=2(x-a)+2(x^2-a^2)2x=2(x-a)(2x^2+2ax+1)$이므로, $\displaystyle 2x^2+2ax+1$의 판별식 $\displaystyle \mathrm D/4=a^2-2$에 대하여① $\displaystyle \mathrm D/4>0$ ( 즉, $\displaystyle a<-\sqrt2$ 또는 $\displaystyle a>\sqrt2$ ) 이면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 실근은 $\displaystyle a,\frac{-a-\sqrt{a^2-2}}2,\frac{-a+\sqrt{a^2-2}}2$이다.따라서 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 다음 중 하나이다

이고, 이 경우 양의 실수 $\displaystyle r$에 대해 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=r^2$의 교점은 최대 4개 이므로 $\displaystyle N_{\mathrm P}=4$이다.② $\displaystyle \mathrm D/4=0$ ( 즉, $\displaystyle a=\pm\sqrt2$ ) 이면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 실근은 $\displaystyle a,-\frac a2$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 아래 중 하나이다

이고 이 경우 양의 실수 $\displaystyle r$에 대해 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=r^2$의 교점은 항상 2개 이므로 $\displaystyle N_{\mathrm P}=2$이다.③ $\displaystyle \mathrm D/4<0$ ( 즉, $\displaystyle -\sqrt2<a<\sqrt2$ ) 이면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 실근은 $\displaystyle a$뿐이다.따라서 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 아래 중 하나이다.

이고, 이 경우 역시 양의 실수 $\displaystyle r$에 대해 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=r^2$의 교점은 항상 2개 이므로 $\displaystyle N_{\mathrm P}=2$이다.②, ③의 경우에만 $\displaystyle N_{\mathrm P}=2$이므로, 구하는 $\displaystyle a$값의 범위는 $\displaystyle -\sqrt2\le a\le\sqrt2$이다.

3.$\displaystyle \begin{aligned}x^3-3xy-y^3-1&=x^3-y^3-3xy-1=(x-y)^3+3xy(x-y)-3xy-1=(x-y)^3-1+3xy(x-y-1)\\&=(x-y-1)((x-y)^2+(x-y)+1)+3xy(x-y-1)=(x-y-1)(x^2-2xy+y^2+x-y+1+3xy)\\&=\frac12(x-y-1)(x^2+2xy+y^2+x^2+2x+1+y^2-2y+1)=\frac12(x-y-1)((x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)^2)\end{aligned}$이므로 집합 $\displaystyle A$는 직선 $\displaystyle x-y-1=0$과 한 점 $\displaystyle (-1,1)$로 이루어져 있다.

위 그림으로부터 점 P에 대한 집합 $\displaystyle A$의 $\displaystyle N_{\mathrm P}$는 3이고 이때 반지름 $\displaystyle r$은 $\displaystyle \sqrt2$이다.