자연계열 (오후1) 2번

1. 양의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f(t)=(1+t)-\left(1-\frac{t^2}2\right)e^t$이라 하자. 양변을 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면, $\displaystyle f^{\prime}(t)=1-\left(-t+1-\frac{t^2}2\right)e^t>1-(1-t)e^t=g(t)$를 얻는다.

임의의 양의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(t)=e^t-(1-t)e^t=te^t>0,$⇒ $\displaystyle g(t)$는 증가함수이고, $\displaystyle g(0)=1-(1-0)e^0=0$이다.⇒ 임의의 양의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle g(t)>g(0)=0$⇒ $\displaystyle f^{\prime}(t)>g(t)=1-(1-t)e^t>g(0)=0$⇒ $\displaystyle f(t)$는 증가함수이고, $\displaystyle f(0)=1-(1-0)e^0=0$이다.⇒ 임의의 양의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f(t)>0$이와 같이 모든 양의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle 1+t>\left(1-\frac{t^2}2\right)e^t$이므로, 부등식을 만족하는 $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle (0,\infty)$이다.

2. 다항식 $\displaystyle p_{2n-1}(x)$에 $\displaystyle x=0$을 대입하면, $\displaystyle p_{2n-1}(0)=1>0$ -------------- ㉠

다항식 $\displaystyle p_{2n-1}(x)$에 $\displaystyle x=-2n$을 대입하여 $\displaystyle p_{2n-1}(-2n)$을 다음과 같이 표현할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}p_{2n-1}(-2n)&=\sum_{k=0}^{2n-1}\frac{(-2n)^k}{k!}=[1+(-2n)]+\left[\frac{(-2n)^2}{2!}+\frac{(-2n)^3}{3!}\right]\\&\quad+\cdots+\left[\frac{(-2n)^{2k-2}}{(2k-2)!}+\frac{(-2n)^{2k-1}}{(2k-1)!}\right]+\cdots+\left[\frac{(-2n)^{2n-2}}{(2n-2)!}+\frac{(-2n)^{2n-1}}{(2n-1)!}\right]\\&=\sum_{k=1}^n\left[\frac{(-2n)^{2k-2}}{(2k-2)!}+\frac{(-2n)^{2k-1}}{(2k-1)!}\right]\end{aligned}$임의의 $\displaystyle 1\le k\le n$에 대하여,$\displaystyle \frac{(-2n)^{2k-2}}{(2k-2)!}+\frac{(-2n)^{2k-1}}{(2k-1)!}=\frac{(-2n)^{2k-2}(2k-1-2n)}{(2k-1)!}=\frac{(-2n)^{2k-2}(2k-2n-1)}{(2k-1)!}<0$⇒ $\displaystyle p_{2n-1}(-2n)=\sum_{k=1}^n\left[\frac{(-2n)^{2k-2}}{(2k-2)!}+\frac{(-2n)^{2k-1}}{(2k-1)!}\right]<0$ ---------- ㉡∴ 식 ㉠과 ㉡에 의해, $\displaystyle p_{2n-1}(0)>p_{2n-1}(-2n)$이다.

3. $\displaystyle x\ge0$인 경우와 $\displaystyle x<0$인 경우로 나누어 생각하자.(i) $\displaystyle x\ge0$인 경우는 $\displaystyle p_{2n}(x)\ge1>0$이므로, $\displaystyle p_{2n}(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x\ge0$인 실수는 없다.

(ii) $\displaystyle x<0$인 경우: 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle p_{2n}(x)>0$임을 보이면 모든 음의 실수 $\displaystyle x$에서는 $\displaystyle p_{2n}(x)\ne0$이다.따라서 (i)과 (ii)에 의해, $\displaystyle p_{2n}(x)=0$을 만족하는 실수 $\displaystyle x$는 존재하지 않는다.(ii)의 경우를 수학적 귀납법을 이용하여 증명하자.$\displaystyle n=1$인 경우; $\displaystyle p_2(x)=1+x+\frac{x^2}2=\left(1+\frac x2\right)^2+\frac{x^2}4>0$이다.$\displaystyle n=k-1$인 경우; $\displaystyle p_{2k-2}(x)>0$이 성립함을 가정하자.그렇다면 등식 $\displaystyle p_{2k}^{\prime}(x)=p_{2k-1}(x)$이 성립하고, 문제 (2)번에서 $\displaystyle p_{2k-1}(0)>0$과 $\displaystyle p_{2k-1}(-2k)<0$임을 알 수 있다.$\displaystyle p_{2k-1}(x)$는 연속함수이므로, 중간값 정리에 의해 $\displaystyle p_{2k-1}(t)=0$인 $\displaystyle t$가 $\displaystyle -2k$과 0 사이에 적어도 하나 존재한다.즉, $\displaystyle 0=p_{2k-1}(t)=\sum_{m=0}^{2k-1}\frac{t^m}{m!}=\sum_{m=0}^{2k-2}\frac{t^m}{m!}+\frac{t^{2k-1}}{(2k-1)!}$ -------------- (*)귀납법 가정에 의해, $\displaystyle 0<p_{2k-2}(x)=p_{2k-1}^{\prime}(x)$이므로 $\displaystyle p_{2k-1}(x)$는 증가함수이다.따라서 $\displaystyle p_{2k-1}(t)=0$인 $\displaystyle t$가 $\displaystyle -2k$와 0 사이에 하나만 존재한다.실수 $\displaystyle t<0$이므로,$\displaystyle p_{2k}^{\prime\prime}(t)=p_{2k-1}^{\prime}(t)=p_{2k-2}(t)=\sum_{m=0}^{2k-2}\frac{t^m}{m!}=-\frac{t^{2k-1}}{(2k-1)!}>0$ --------- ㉢위에서 네번째 등식은 식 (*)에 의해서 성립한다.

그러므로 다항식 $\displaystyle p_{2k}(x)$는 $\displaystyle x=t$에서 극솟값(최솟값)을 가지고, $\displaystyle t\ne0$이므로,$\displaystyle p_{2k}(x)\ge p_{2k}(t)=\sum_{m=0}^{2k}\frac{t^m}{m!}=\sum_{m=0}^{2k-1}\frac{t^m}{m!}+\frac{t^{2k}}{(2k)!}=\frac{t^{2k}}{(2k)!}>0$위에서 세번째 등식은 식 (*)에 의해서 성립한다.그러므로 $\displaystyle p_{2n}(x)$는 실근을 갖지 않는다.