자연계열 (오후2) 1번

1. 양의 실수 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle \frac1{t+2}+\ln(t+1)-\ln(t+2)=\int_{t+1}^{t+2}\left(\frac1{t+2}-\frac1x\right)\,dx$이다.이때 함수 $\displaystyle \frac1{t+2}-\frac1x$은 구간 $\displaystyle [t+1,t+2]$에서 0보다 작거나 같기 때문에적분값은 0보다 작다. 즉 $\displaystyle \int_{t+1}^{t+2}\left(\frac1{t+2}-\frac1x\right)\,dx<0$이다.

2. 함수 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{2x+1}{2x+2}\right)^{x+\frac12}$의 양변에 로그를 취하면,$\displaystyle \ln f(x)=\left(x+\frac12\right)\{\ln(2x+1)-\ln(2x+2)\}$이다. 양변을 미분하면,$\displaystyle \begin{aligned}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}&=\left(x+\frac12\right)\left\{\frac2{2x+1}-\frac2{2x+2}\right\}+\ln(2x+1)-\ln(2x+2)\\&=\frac1{2(x+1)}+\ln(2x+1)-\ln(2x+2)\\&=\int_{2x+1}^{2x+2}\left(\frac1{2(x+1)}-\frac1t\right)\,dt\end{aligned}$위의 식에서 피적분 함수 $\displaystyle h(t)=\frac1{2(x+1)}-\frac1t$는구간 $\displaystyle [2x+1,2x+2]$에서 0보다 작거나 같기 때문에 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}<0$을 얻는다.

그리고 실수 $\displaystyle x\ge0$에 대하여 $\displaystyle f(x)>0$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이다. 즉, $\displaystyle f(x)$는 감소함수이다.따라서 $\displaystyle f(x)\le f(0)=\frac{\sqrt2}2$이므로, 최댓값은 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2$이다.

3. $\displaystyle x\ge0$에 대하여 $\displaystyle g(x)=\ln f(x)$라 하자. 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면,$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac1{2(x+1)}+\ln(2x+1)-\ln(2x+2)$ -------- ①다시 ①의 양변을 미분하면,$\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=\frac{f^{\prime\prime}(x)f(x)-[f^{\prime}(x)]^2}{[f(x)]^2}$이다.

이때, 실수 $\displaystyle x\ge0$에 대하여 $\displaystyle f(x)>0$이므로,$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)f(x)>[f(x)]^2$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)>0$이다.Correction. 부등식 우변의 $\displaystyle \{f(x)\}^2$는 $\displaystyle \{f^{\prime}(x)\}^2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=-\frac1{2(x+1)^2}+\frac1{x+\frac12}-\frac1{x+1}=\frac1{x+\frac12}-\frac1{x+1}\left(1+\frac1{2(x+1)}\right)>0$⇔ $\displaystyle \frac1{x+\frac12}>\frac1{x+1}\left(1+\frac1{2(x+1)}\right)$⇔ $\displaystyle (x+1)^2>\left(x+\frac12\right)\left(x+\frac32\right)$ -------- ②모든 실수 $\displaystyle x\ge0$에 대하여 부등식 ②가 성립하므로,부등식 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)f(x)>\{f^{\prime}(x)\}^2$이 성립한다.