상경계열 2번

두 점 $\displaystyle P,Q$의 시각에 따른 위치는 $\displaystyle p(t)=-\frac{t^4}4+\frac43t^3+\frac a2t^2,\ q(t)=\frac b3t^4+2t^3+at^2$이다.두 점 $\displaystyle P,Q$의 속도는 $\displaystyle p^{\prime}(t)=-t^3+4t^2+at,\ q^{\prime}(t)=\frac{4b}3t^3+6t^2+2at$이다.두 점 $\displaystyle P,Q$의 가속도는 $\displaystyle p^{\prime\prime}(t)=-3t^2+8t+a,\ q^{\prime\prime}(t)=4bt^2+12t+2a$이다.

1. $\displaystyle a=-\frac76,b=-1$일 때 $\displaystyle p(t)=t^2\left(-\frac{t^2}4+\frac43t-\frac7{12}\right)$이고 $\displaystyle q(t)=t^2\left(-\frac13t^2+2t-\frac76\right)$이므로 만나는 조건은$\displaystyle \left(-\frac13+\frac14\right)t^2+\frac23t-\frac7{12}=0$이고 $\displaystyle t^2-8t+7=0$이므로 그 시각은 $\displaystyle t=1,7$이다.점 $\displaystyle P,Q$의 속도는 $\displaystyle p^{\prime}(t)=-t^3+4t^2-\frac76t,\ q^{\prime}(t)=-\frac43t^3+6t^2-\frac73t$이므로$\displaystyle t=1$일 때 점 $\displaystyle P$의 속도는 $\displaystyle p^{\prime}(1)=-1+4-\frac76=\frac{11}6$이고 점 $\displaystyle Q$의 속도는 $\displaystyle q^{\prime}(1)=-\frac43+6-\frac73=\frac73$이다.$\displaystyle t=7$일 때 점 $\displaystyle P$의 속도는 $\displaystyle p^{\prime}(7)=-343+196-\frac{49}6=-\frac{931}6$이고 점 $\displaystyle Q$의 속도는 $\displaystyle q^{\prime}(7)=-\frac{1372}3+294-\frac{49}3=-\frac{539}3$이다.

2. 구간 $\displaystyle [1,2]$에서 두 점 $\displaystyle P,Q$의 가속도의 차이가 2 미만이려면 $\displaystyle -2<4bt^2+12t+2a-(-3t^2+8t+a)<2$이어야한다.$\displaystyle f(t)=(4b+3)t^2+4t+a$라 두자. $\displaystyle f(t)$의 그래프의 축은 $\displaystyle t=-\frac2{4b+3}$이다.

㉠ $\displaystyle 4b+3>0$일 때 구간 $\displaystyle [1,2]$에서 $\displaystyle f(t)$는 증가함수이므로 $\displaystyle f(1)=4b+7+a>-2$이고 $\displaystyle f(2)=16b+20+a<2$이어야 한다.$\displaystyle a>-4b-9,a<-16b-18$이므로 $\displaystyle -4b-9<-16b-18$에서 $\displaystyle 12b+9<0$인데, $\displaystyle 4b+3>0$을 만족하지 않으므로 $\displaystyle a,b$는 존재하지 않는다.

㉡ $\displaystyle 4b+3<0$이고 $\displaystyle -\frac2{4b+3}\ge2$일 때, 즉 $\displaystyle -1\le4b+3<0$일 때구간 $\displaystyle [1,2]$에서 $\displaystyle f(t)$는 증가함수이므로 $\displaystyle f(1)=4b+7+a>-2$이고$\displaystyle f(2)=16b+20+a<2$이어야 한다.따라서 $\displaystyle -1\le4b+3<0,4b+a>-9,16b+a<-18$을 만족하는 $\displaystyle a,b$이면구간 $\displaystyle [1,2]$에서 $\displaystyle P,Q$의 가속도의 차이가 2 미만이다.

㉢ $\displaystyle 4b+3<0$이고 $\displaystyle \frac32<-\frac2{4b+3}<2$일 때, 즉 $\displaystyle -\frac43<4b+3<-1$일 때 $\displaystyle f(1)<f(2)$이므로$\displaystyle f\left(-\frac2{4b+3}\right)=-\frac4{4b+3}+a<2$이고 $\displaystyle f(1)=4b+7+a>-2$이어야 한다.따라서 $\displaystyle -\frac{13}{12}<b<-1,-\frac4{4b+3}+a<2,4b+a>-9$를 만족하는 $\displaystyle a,b$이면구간 $\displaystyle [1,2]$에서 $\displaystyle P,Q$의 가속도의 차이가 2 미만이다.

3. $\displaystyle p^{\prime\prime}(t)=-3t^2+8t+a,\ q^{\prime\prime}(t)=4bt^2+12t+2a$이므로 출발 후 두 점의 가속도가 같아지는 순간이 존재할 조건은$\displaystyle t$에 대한 방정식 $\displaystyle (4b+3)t^2+4t+a=0$의 양수해가 존재하기 위한 조건과 같다.따라서 함수 $\displaystyle f(t)=(4b+3)t^2+4t+a$를 생각하자.

㉠ $\displaystyle 4b+3>0$일 때 $\displaystyle y=f(t)$의 그래프의 중심축이 $\displaystyle t=-\frac2{4b+3}<0$이므로

$\displaystyle f(0)<0$이면 양수해가 존재한다.∴ $\displaystyle a<0$이고 이때 양수해는 $\displaystyle t=\frac{-2+\sqrt{4-a(4b+3)}}{4b+3}$이다.

㉡ $\displaystyle 4b+3<0$일 때 $\displaystyle y=f(t)$의 그래프의 중심축이 $\displaystyle t=-\frac2{4b+3}>0$이므로

실근을 가지면 양수해가 존재한다.∴ $\displaystyle 4-a(4b+3)\ge0$이다. 즉 $\displaystyle \frac4{4b+3}\le a$이다.

(i) $\displaystyle \frac4{4b+3}\le a<0$일 때 $\displaystyle t=\frac{-2\pm\sqrt{4-a(4b+3)}}{4b+3}$이다.

(ii) $\displaystyle 0\le a$일 때 $\displaystyle t=\frac{-2-\sqrt{4-a(4b+3)}}{4b+3}$이다.