자연계열 (오전) 1번

한양대 서울캠퍼스 2020학년도 수시 자연계열 (오전) 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2020su/jayeon_am_1

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

반지름의 길이가 1인 구 $\displaystyle S$ 의 중심으로부터 거리가 $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ )인 직선 $\displaystyle Q$ $\displaystyle l$ 이 있다. 직선 $\displaystyle l$ 과 구 $\displaystyle S$ 의 중심을 포함하는 평면을 $\displaystyle P$ 라 하고 $\displaystyle P$ 로부터 가장 멀리 떨어진 $\displaystyle S$ 의 한 점을 라 하자. $\displaystyle l$ 을 포함하면서 $\displaystyle P$ 와 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta$ 인 평면 중 $\displaystyle Q$ 에 가까운 것을 $\displaystyle P_\theta$ 라 할 때, $\displaystyle P_\theta$ 가 $\displaystyle S$ 를 만나 이루는 원을 $\displaystyle C_\theta$ 라 하자. $\displaystyle P_{\theta_0}$ 이 $\displaystyle S$ 에 접하는 평면이면, $\displaystyle 0\le\theta\le\theta_0$ 인 모든 $\displaystyle \theta$ 에 대해 $\displaystyle P_\theta$ 는 $\displaystyle S$ 와 만난다.Correction. 점 $\displaystyle Q$ 의 기호가 앞줄로 옮겨 인쇄되었다. 해당 부분은 “직선 $\displaystyle l$ 이 있다”와 “ $\displaystyle S$ 의 한 점을 $\displaystyle Q$ 라 하자”이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

1. $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$ 일 때, 원 $\displaystyle C_{\theta}$ 의 넓이를 구하시오.Comment. 이 문제에서는 $\displaystyle A(\theta_0)=0$ 으로 정하여, 구와 평면이 한 점에서 접하는 경우의 넓이도 $\displaystyle 0$ 으로 다룬다. 따라서 1번에서 구와 평면이 만나는 범위 $\displaystyle 1<a\le2$ 에서는 $\displaystyle a=2$ 인 경우까지 포함하여 대학 예시답안처럼 계산해도 무방하다.

2. 원 $\displaystyle C_{\theta}$ 의 넓이를 $\displaystyle A ( \theta )$ 라 하고 $\displaystyle t = \tan \theta$ 로 놓을 때, $\displaystyle \int_{0}^{\tan \theta_{0}} {A ( \theta ) d t}$ 의 값을 $\displaystyle \theta_{0}$ 에 대한 식으로 나타내시오. 단, $\displaystyle A ( \theta_{0} ) = 0$ 으로 한다.

3. 평면 $\displaystyle P_{\theta_0}$ 이 구 $\displaystyle S$ 와 만나는 점과 원 $\displaystyle C_\theta$ ( $\displaystyle 0\le\theta<\theta_0$ )의 중심이 이루는 곡선의 길이를 구하시오.

해설강의 준비중

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[문제 1] $\displaystyle S$ 의 중심점을 $\displaystyle (0,0,0)$ 이라 하고, $\displaystyle L$ 을 $\displaystyle L:x=-a,\ y=0$ 인 직선으로 두면 $\displaystyle C_\theta$ 의 중심점은 XY－평면위에 있다.

$\displaystyle t=\tan\theta$ 라 하면 $\displaystyle \begin{cases}y=t(x+a)&-\text{★}\\x^2+y^2=1&-\text{★★}\end{cases}$ $\displaystyle x^2+t^2(x+a)^2=1\qquad(t^2+1)x^2+2at^2x+(t^2a^2-1)=0$ 직선 ★, 원 ★★의 교점의 X좌표를 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$ 라 하면, $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2=-\frac{2at^2}{t^2+1}\qquad\alpha_1\alpha_2=\frac{t^2a^2-1}{t^2+1}$ 중심점의 X좌표 $\displaystyle =\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}=-\frac{at^2}{t^2+1}$ 　Y좌표 $\displaystyle =t\left(-\frac{at^2}{t^2+1}+a\right)=\frac{at}{t^2+1}$ 위 그림에서 보면, (반지름) $\displaystyle ^2=1^2-(a\sin\theta)^2$

+20점 · 원의 넓이를 올바로 구했는가?

1. 넓이 $\displaystyle =\pi(1-a^2\sin^2\theta)$ . $\displaystyle \theta=\frac\pi6$ 이면, 원의 면적 $\displaystyle =\pi\left(1-\frac{a^2}4\right)$ .

+20점 · 계산의 과정이 논리의 비약 없이 충분히 설명되었는가?

2. $\displaystyle dt=\sec^2\theta\,d\theta,\ 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ 이므로주어진 식은 $\displaystyle \pi\int_0^{\theta_0}(1-a^2\sin^2\theta)\sec^2\theta\,d\theta=\pi\int_0^{\theta_0}\sec^2\theta-a^2\tan^2\theta\,d\theta=\pi\int_0^{\theta_0}(1-a^2)\sec^2\theta+a^2\,d\theta=\pi((1-a^2)\tan\theta_0+a^2\theta_0)$

+20점 · 적분값을 올바로 구했는가?

$\displaystyle \tan\theta_0=\frac1{\sqrt{a^2-1}}$ 이므로, 적분값은 $\displaystyle \pi\frac{\theta_0\tan^2\theta_0-\tan\theta_0+\theta_0}{\tan^2\theta_0}$

+20점 · 계산의 과정이 논리의 비약 없이 충분히 설명되었는가?

3. $\displaystyle \begin{cases}x(\theta)=-\frac{a\tan^2\theta}{\tan^2\theta+1}=-\frac{a\tan^2\theta}{\sec^2\theta}=-a\sin^2\theta\\y(\theta)=\frac{a\tan\theta}{\tan^2\theta+1}=a\sin\theta\cos\theta\end{cases}$ $\displaystyle x^{\prime}(\theta)=-2a\sin\theta\cos\theta$ $\displaystyle y^{\prime}(\theta)=a\cos^2\theta-a\sin^2\theta$ $\displaystyle \{x^{\prime}(\theta)\}^2+\{y^{\prime}(\theta)\}^2=4a^2\sin^2\theta\cos^2\theta+a^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)^2=a^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)^2=a^2$

+20점 · 곡선의 길이 값을 올바로 구했는가?

곡선의 길이 $\displaystyle =\int_0^{\theta_0}a\,d\theta=a\theta_0$

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