자연계열 (오전) 2번

1.수직으로 던진 공의 $\displaystyle t$초 후의 공의 높이를 $\displaystyle h(t)$라 하면 제시문에 의해 $\displaystyle h(t)=20t-5t^2,\ h^{\prime}(t)=20-10t$이다.$\displaystyle h(t)=-5(t-2)^2+20<50$이므로 항상 그림자가 생긴다.삼각형의 닮음을 이용하면 $\displaystyle \frac{h(t)}{x(t)}=\frac{50}{x(t)+30}$이고$\displaystyle h(t)(x(t)+30)=50x(t)$이므로 $\displaystyle x(t)=\frac{30h(t)}{50-h(t)}$이다.

그림자의 속도는 $\displaystyle x^{\prime}(t)=\frac{30h^{\prime}(t)(50-h(t))+30h(t)h^{\prime}(t)}{(50-h(t))^2}=\frac{1500h^{\prime}(t)}{(50-h(t))^2}$이다.$\displaystyle h(3)=15,\ h^{\prime}(3)=-10$이므로 $\displaystyle x^{\prime}(3)=\frac{30\times50\times(-10)}{35^2}=-\frac{600}{49}$이다.따라서 그림자는 가로등을 향해 $\displaystyle \frac{600}{49}\mathrm{m/s}$의 속력을 가진다.

2.제시문에 의해 $\displaystyle t$초 후 공의 위치는 $\displaystyle (x(t),y(t))=(10t,10\sqrt3t-5t^2)$이다.그림자의 위치를 $\displaystyle z(t)$라고 하면 $\displaystyle z(t)=x(t)+p(t)$인데, $\displaystyle \frac{y(t)}{p(t)}=\tan\frac\pi6=\frac1{\sqrt3}$이므로 $\displaystyle z(t)=x(t)+\sqrt3y(t)$이다.

그림자의 속도는 $\displaystyle z^{\prime}(t)=x^{\prime}(t)+\sqrt3y^{\prime}(t)=10+\sqrt3(10\sqrt3-10t)=40-10\sqrt3t$이다.그림자의 속력이 10이 되기 위해서는$\displaystyle |z^{\prime}(t)|=|40-10\sqrt3t|=10$이므로, $\displaystyle 40-10\sqrt3t=10$ 또는 $\displaystyle 40-10\sqrt3t=-10$,즉, $\displaystyle t=\sqrt3$ 또는 $\displaystyle t=\frac5{\sqrt3}$일 때 그림자의 속력이 10이 된다.

이때, 높이를 구하면$\displaystyle y(\sqrt3)=10\sqrt3\times\sqrt3-5\times3=30-15=15,$$\displaystyle y\left(\frac5{\sqrt3}\right)=10\sqrt3\times\frac5{\sqrt3}-\frac{5\times5^2}3=50-\frac{125}3=\frac{25}3$이다.

3.제시문에 의해 $\displaystyle t$초 후 공의 위치는 $\displaystyle (x(t),y(t))=(10t,10\sqrt3t-5t^2)$이다.$\displaystyle y(t)=-5(t-\sqrt3)^2+15<50$이므로 항상 그림자가 생긴다.$\displaystyle x^{\prime}(t)=10,\ y^{\prime}(t)=10\sqrt3-10t$이므로, 공의 속력을 $\displaystyle v(t)$라 하면$\displaystyle |v(t)|^2=\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=10^2+(10\sqrt3-10t)^2=10^2(t^2-2\sqrt3t+4)$이다.$\displaystyle v(t)=\frac{20\sqrt3}3$이 되는 시간을 구하면$\displaystyle 10^2(t^2-2\sqrt3t+4)=\frac{20^2}3\quad\Rightarrow\quad t^2-2\sqrt3t+4=\frac43\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt3\pm\frac{\sqrt3}3$이다.$\displaystyle t_1=\frac{2\sqrt3}3,\ t_2=\frac{4\sqrt3}3$이라 하자.

그림자의 위치를 $\displaystyle z(t)$라고 하면 $\displaystyle z(t)=x(t)+p(t)$인데, 삼각형의 닮음에 의해 $\displaystyle \frac{y(t)}{p(t)}=\frac{50}{x(t)+p(t)}$이다.$\displaystyle y(t)(x(t)+p(t))=50p(t)$이므로 $\displaystyle p(t)=\frac{x(t)y(t)}{50-y(t)}$이다. 따라서, $\displaystyle z(t)=\frac{50x(t)}{50-y(t)}$이고,$\displaystyle \begin{aligned}z^{\prime}(t)&=\frac{50x^{\prime}(t)(50-y(t))+50x(t)y^{\prime}(t)}{(50-y(t))^2}\\&=\frac{50^2x^{\prime}(t)-50x^{\prime}(t)y(t)+50x(t)y^{\prime}(t)}{(50-y(t))^2}\end{aligned}$이다.

$\displaystyle x(t_1)=\frac{20\sqrt3}3,\ y(t_1)=20-5\times\frac43=\frac{40}3,\ x^{\prime}(t_1)=10,\ y^{\prime}(t_1)=10\sqrt3-\frac{20\sqrt3}3=\frac{10\sqrt3}3$이고$\displaystyle x(t_2)=\frac{40\sqrt3}3,\ y(t_2)=40-5\times\frac{16}3=\frac{40}3,\ x^{\prime}(t_2)=10,\ y^{\prime}(t_2)=10\sqrt3-\frac{40\sqrt3}3=\frac{-10\sqrt3}3$이다.따라서$\displaystyle z^{\prime}(t_1)=\frac{50^2\times10-50\times10\times\frac{40}3+50\times\frac{20\sqrt3}3\times\frac{10\sqrt3}3}{(50-\frac{40}3)^2}=\frac{3\times13\times50}{11^2}=\frac{1950}{121}\mathrm{m/s}$$\displaystyle z^{\prime}(t_2)=\frac{50^2\times10-50\times10\times\frac{40}3+50\times\frac{40\sqrt3}3\times\frac{-10\sqrt3}3}{(50-\frac{40}3)^2}=\frac{3\times7\times50}{11^2}=\frac{1050}{121}\mathrm{m/s}$이다.